Question

已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于點P，AB為⊙O₁、⊙O₂的外公切線，切點分別為A、B，連心線O₁O₂分別交⊙O₁于D、交AB于C，連接AD、AP、BP．求證：（1）AD∥BP；（2）CP•CO₁=CD•CO₂；（3）

AD

AP

=

PC

BC

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓的切線的性質(zhì)即可證得∠APB=∠DAP，即可證得兩直線平行；
（2）利用平行線分線段成比例定理即可證明；
（3）首先證明△DAP∽△APB，和△CPA∽△CBP，即可求證．

解答：證明：（1）過P作兩圓的內(nèi)公切線PE交AB于E，
∵EA、EP為⊙O₁的切線，
∴EA=EP，
同理：EB=EP，
∴∠APB=90°，
∵PD是⊙O₁的直徑，
∴∠DAP=90°，
∴∠APB=∠DAP，
∴AD∥BP；

（2）由（1）知：AD∥BP?

CP

CD

=

CB

CA

，
連接O₁A、O₂B，AB分別切兩圓于A、B，
∴

O1A⊥AB O2B⊥AB

?O1A∥O2B?

CO2

CO1

=

CB

CA

，
∴

CP

CD

=

CO2

CO1

，
∴CP•CO₁=CD•CO₂；

（3）由（1）知：∠DAP=∠APB，
又AB是⊙O₁的切線，AP是⊙O₁的弦，
∴∠D=∠PAB，
∴△DAP∽△APB，
∴

AD

AP

=

AP

BP

，
又∵

AD||BP?∠BPC=∠D ∠PAC=∠PAB=∠D

?

∠BPC=∠PAC ∠C=∠C

=△CPA∽△CBP?

AP

BP

=

PC

BC

，
∴

AD

AP

=

PC

BC

．

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)，以及三角形相似的判定，線段的比相等的問題一般可以轉(zhuǎn)化為證明三角形相似的問題解決．