【題目】【問題提出】

如圖①,已知△ABC是等腰三角形,點(diǎn)E在線段AB上,點(diǎn)D在直線BC上,且ED=EC,將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF連接EF證明:AB=DB+AF;

【類比探究】

(1)如圖②,如果點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上,其他條件不變,線段AB,DB,AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由;

(2)如果點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上,其他條件不變,請(qǐng)?jiān)趫D③的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整,并寫出AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系,不必說明理由.

【答案】【問題提出】證明見試題解析;【類比探究】(1)AB=BD+AF;(2)AF=AB+BD.

【解析】

試題分析:首先判斷出CEF是等邊三角形,即可判斷出EF=EC,再根據(jù)ED=EC,可得ED=EF,CAF=BAC=60°,所以EAF=BAC+CAF=120°,DBE=120°,EAF=DBE;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出EDB≌△FEA,即可判斷出BD=AE,AB=AE+BF,所以AB=DB+AF.

(1)首先判斷出CEF是等邊三角形,即可判斷出EF=EC,再根據(jù)ED=EC,可得ED=EF,CAF=BAC=60°,所以EFC=FGC+FCG,BAC=FGC+FEA,FCG=FEA,再根據(jù)FCG=EAD,D=EAD,可得D=FEA;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出EDB≌△FEA,即可判斷出BD=AE,EB=AF,進(jìn)而判斷出AB=BD﹣AF即可.

(2)首先根據(jù)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上,在圖③的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整,然后判斷出CEF是等邊三角形,即可判斷出EF=EC,再根據(jù)ED=EC,可得ED=EF,CAF=BAC=60°,再判斷出DBE=EAF,BDE=AEF;最后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出EDB≌△FEA,即可判斷出BD=AE,EB=AF,進(jìn)而判斷出AF=AB+BD即可.

試題解析:ED=EC=CF,∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ACF,∴∠ECF=60°,BCA=60°,BE=AF,EC=CF,∴△CEF是等邊三角形,EF=EC,CEF=60°,又ED=EC,ED=EF,∵△ABC是等腰三角形,BCA=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴∠CAF=CBA=60°,∴∠EAF=BAC+CAF=120°,DBE=120°,EAF=DBE,∵∠CAF=CEF=60°,A、E、C、F四點(diǎn)共圓,∴∠AEF=ACF,又ED=EC,∴∠D=BCE,BCE=ACF,∴∠D=AEF,在EDB和FEA中,∵∠DBE=EAF,D=AEF,ED=EF(AAS),∴△EDB≌△FEA,DB=AE,BE=AF,AB=AE+BE,AB=DB+AF.

(1)AB=BD+AF;

延長(zhǎng)EF、CA交于點(diǎn)G,∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ACF,∴∠ECF=60°,BE=AF,EC=CF,∴△CEF是等邊三角形,EF=EC,又ED=EC,ED=EF,EFC=BAC=60°,∵∠EFC=FGC+FCG,BAC=FGC+FEA,∴∠FCG=FEA,又∵∠FCG=ECD,D=ECD,∴∠D=FEA,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得CBE=CAF=120°,∴∠DBE=FAE=60°,在EDB和FEA中,∵∠DBE=EAF,D=AEF,ED=EF(AAS)∴△EDB≌△FEA,BD=AE,EB=AF,BD=FA+AB,即AB=BD﹣AF;

(2)如圖③,,ED=EC=CF,∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ACF,∴∠ECF=60°,BE=AF,EC=CF,BC=AC,∴△CEF是等邊三角形,EF=EC,又ED=EC,ED=EF,AB=AC,BC=AC,∴△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=60°,又∵∠CBE=CAF,∴∠CAF=60°,∴∠EAF=180°﹣CAF﹣BAC=180°﹣60°﹣60°=60°∴∠DBE=EAF;ED=EC,∴∠ECD=EDC,∴∠BDE=ECD+DEC=EDC+DEC,又∵∠EDC=EBC+BED,∴∠BDE=EBC+BED+DEC=60°+BEC,∵∠AEF=CEF+BEC=60°+BEC,∴∠BDE=AEF,在EDB和FEA中,∵∠DBE=EAF,BDE=AEF,ED=EF(AAS)∴△EDB≌△FEA,BD=AE,EB=AF,BE=AB+AE,AF=AB+BD,即AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系是:AF=AB+BD.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)求線段MN的長(zhǎng);
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②年用水量超過240m3的該市居民家庭按第三檔水價(jià)交費(fèi);
③該市居民家庭年用水量的中位數(shù)在150﹣180之間;
④該市居民家庭年用水量的平均數(shù)不超過180.

A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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