Question

如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點為O，A點坐標為（4，0），B點坐標為（-1，0），以AB的中點P為圓心，AB為直徑作⊙P的正半軸交于點C．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)M為（1）中拋物線的頂點，求直線MC對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（3）試說明直線MC與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）求出半徑，根據(jù)勾股定理求出C的坐標，設(shè)經(jīng)過A、B、C三點拋物線解析式是y=a（x-4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；
（2）求出M的坐標，設(shè)直線MC對應(yīng)函數(shù)表達式是y=kx+b，把C（0，2），M（

3

2

，

25

8

）代入得到方程組，求出方程組的解即可；
（3）根據(jù)點的坐標和勾股定理分別求出PC、DC、PD的平方，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°，即可求出答案．

解答：解：（1）連接PC，
∵A（4，0），B（-1，0），
∴AB=5，半徑PC=PB=PA=

5

2

，
∴OP=

5

2

-1=

3

2

，
在△CPO中，由勾股定理得：OC=

CP2-OP2

=2，
∴C（0，2），
設(shè)經(jīng)過A、B、C三點拋物線解析式是y=a（x-4）（x+1），
把C（0，2）代入得：2=a（0-4）（0+1），
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x-4）（x+1）=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
答：經(jīng)過A、B、C三點拋物線解析式是y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

(x-

3

2

)2+

25

8

，
M（

3

2

，

25

8

），
設(shè)直線MC對應(yīng)函數(shù)表達式是y=kx+b，
把C（0，2），M（

3

2

，

25

8

）代入得：

25 8 = 3 2 k+b b=2

，
解得：

k= 3 4 b=2

，
∴y=

3

4

x+2，
答：直線MC對應(yīng)函數(shù)表達式是y=

3

4

x+2．

（3）MC與⊙P的位置關(guān)系是相切．
證明：設(shè)直線MC交x軸于D，
當y=0時，0=

3

4

x+2，
∴x=-

8

3

，OD=

8

3

，
∴D（-

8

3

，0），
在△COD中，由勾股定理得：CD²=2²+(

8

3

)2=

100

9

=

400

36

，
PC²=(

5

2

)2=

25

4

=

225

36

，
PD²=(

5

2

+

8

3

-1)2=

625

36

，
∴CD²+PC²=PD²，
∴∠PCD=90°，
∴PC⊥DC，
∵PC為半徑，
∴MC與⊙P的位置關(guān)系是相切．

點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程組，二次函數(shù)的最值，切線的判定等知識點的連接和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．