Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過原點O，交x軸于點A，其頂點B的坐標(biāo)為（3，-）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式及點A的坐標(biāo)；
（2）在拋物線上求點P，使S_△POA=2S_△AOB；
（3）在拋物線上是否存在點Q，使△AQO與△AOB相似？如果存在，請求出Q點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)經(jīng)過原點，可得c=0，然后根據(jù)函數(shù)的對稱軸，及函數(shù)圖象經(jīng)過點（3，-）可得出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可直接得出點A的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)題意可得點P到OA的距離是點B到OA距離的2倍，即點P的縱坐標(biāo)為2，代入函數(shù)解析式可得出點P的橫坐標(biāo)；
（3）分情況討論，①點Q與點B重合可直接得出點Q的坐標(biāo)；②點Q不與點B重合，先求出∠BOA的度數(shù)，然后可確定∠Q₁OA=的度數(shù)，繼而利用解直角三角形的知識求出x，得出Q₁的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象函數(shù)的對稱性可得出Q₂的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由函數(shù)圖象經(jīng)過原點得，函數(shù)解析式為y=ax²+bx（a≠0），
又∵函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（3，-），
∴，
解得：，
故函數(shù)解析式為：y=x²-x，
由二次函數(shù)圖象的對稱性可得點A的坐標(biāo)為（6，0）；

（2）∵S_△POA=2S_△AOB，

∴點P到OA的距離是點B到OA距離的2倍，即點P的縱坐標(biāo)為2，
代入函數(shù)解析式得：2=x²-x，
解得：x₁=3+3，x₂=3-3，
即滿足條件的點P有兩個，其坐標(biāo)為：P₁（3+3，2），P₂（3-3，2）．

（3）存在．
①當(dāng)點Q與點B重合時，滿足△AQO與△AOB相似，
此時點Q的坐標(biāo)為（3，-）；

②當(dāng)點Q與點B不重合時，
過點B作BP⊥OA，則tan∠BOP==，
故可得∠BOA=30°，
設(shè)Q₁坐標(biāo)為（x，x²-x），過點Q₁作Q₁F⊥x軸，
∵△OAB∽△OQ₁A，
∴∠Q₁OA=30°，
故可得OF=Q₁F，即x=（x²-x），
解得：x=9或x=0（舍去），
經(jīng)檢驗得此時OA=AQ₁，△OQ₁A是等腰三角形，且和△OBA相似．
即可得Q₁坐標(biāo)為（9，3），
根據(jù)函數(shù)的對稱性可得Q₂坐標(biāo)為（-3，3）．
∴在拋物線上存在點Q，使△AQO與△AOB相似，其坐標(biāo)為：（3，-）或（9，3）或（-3，3）．
點評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積及一元二次方程的解，綜合性較強，需要我們仔細(xì)分析，分步解答．