Question

如圖，已知AB、CD是⊙O的兩條平行弦，過(guò)A點(diǎn)的⊙O的切線(xiàn)AE和DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于E點(diǎn)，P為弧

CD

上一點(diǎn)，弦AP、BP與CD分別交于點(diǎn)M、N．
求證：CM：EM=NM：DM．

Answer 1

分析：由弦切角定理可知∠EAP=∠ABP，由AB∥CD，得∠ABP=∠ENP，因?yàn)椤螦ME=∠NMP，故△AEM∽△PNM，依據(jù)相交弦定理解答．

解答：證明：∵AE是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠EAP=∠ABP．
∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠ENP，∠AME=∠NMP．
∴△AEM∽△PNM．
∴AM•PM=MN•EN．
∵AM•PM=CM•DM，
∴MN•EM=CM•DM．
即CM：EM=NM：DM．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是相交弦定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)及判定定理，弦切角定理的綜合運(yùn)用能力．