【題目】把兩個(gè)全等的等腰直角三角板(直角邊長(zhǎng)為4)疊放在一起,且三角板EFG的直角頂點(diǎn)G位于三角板ABC的斜邊中點(diǎn)處.現(xiàn)將三角板EFG繞G點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度(0°<α<90°)(如圖1),四邊形GKCH為兩三角板的重疊部分.

(1)猜想BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(2)連接HK(如圖2),在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,設(shè)BH=x,△GKH的面積為y,
①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
②當(dāng)△GKH的面積恰好等于△ABC面積的 ,求x.

【答案】
(1)

解:BH=CK.

理由如下:∵點(diǎn)O是等腰直角三角板ABC斜邊中點(diǎn),

∴∠B=∠GCK=45°,BG=CG,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),知∠BGH=∠CGK,

在△BGH和△CGK中,

,

∴△BGH≌△CGK(ASA),

∴BH=CK;


(2)

解:①∵△BGH≌△CGK,

∴S四邊形CHGK=SCGK+SCGH=SBGH+SCGH=SBCG= SABC=4,

∴SGKH=S四邊形CHGK﹣SKCH=4﹣ CH×CK,

∴y= x2﹣2x+4(0<x<4),

②當(dāng)y= ×8= 時(shí),即 x2﹣2x+4= ,

∴x=1 或x=3.

∴當(dāng)△GKH的面積恰好等于△ABC面積的 時(shí),BH=1 或BH=3.


【解析】(1)先由ASA證出△CGK≌△BGH,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BH=CK,根據(jù)全等得出四邊形CKGH的面積等于三角形ACB面積一半;(2)①由(1)易得S四邊形CHGK= SABC , 然后根據(jù)面積公式得出y= x2﹣2x+4;②根據(jù)△GKH的面積恰好等于△ABC面積的 ,代入得出方程即可求得結(jié)果.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】問(wèn)題背景:

如圖1,在四邊形ABCD中,ABAD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,EF分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=60°,探究圖中線段BE,EFFD之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DGBE,連結(jié)AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是__________________

探索延伸:

如圖2,若在四邊形ABCD中,ABAD,BD=180°,E,F分別是BCCD上的點(diǎn),且∠EAFBAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由;

結(jié)論應(yīng)用:

如圖3,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O)北偏西30°A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等.接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以50海里/小時(shí)的速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東50°的方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn),1.5小時(shí)后,指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處,且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

能力提高:

如圖4,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,ABAC,點(diǎn)M,N在邊BC上,且∠MAN=45°.若BM=5,CN=12,則MN的長(zhǎng)為_________(直接寫(xiě)出答案)

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【題目】某中學(xué)為了綠化校園,計(jì)劃購(gòu)買一批榕樹(shù)和香樟樹(shù),經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,榕樹(shù)的單價(jià)比香樟樹(shù)少20,購(gòu)買3棵榕樹(shù)和2棵香樟樹(shù)共需340.

(1)榕樹(shù)和香樟樹(shù)的單價(jià)各是多少?

(2)根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況,需購(gòu)買兩種樹(shù)苗共150,總費(fèi)用不超過(guò)10840,且購(gòu)買香樟樹(shù)的棵數(shù)不少于榕樹(shù)的1.5,請(qǐng)你算算該校本次購(gòu)買榕樹(shù)和香樟樹(shù)共有哪幾種方案.

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小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流,得到了如下的解決方法:延長(zhǎng)ADE,使DE=AD,再證明“△ADC≌△EDB”.

(1)探究得出AD的取值范圍是_____;

(2)(問(wèn)題解決)如圖2,△ABC中,∠B=90°,AB=2,AD是△ABC的中線,CEBC,CE=4,且∠ADE=90°,求AE的長(zhǎng).

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