Question

求證：形如4n+3的整數(shù)是（n為整數(shù)）不能化為兩個(gè)整數(shù)的平方和．

Answer 1

分析：假設(shè)P=4n+3=a²+b²（a，b為整數(shù)），則a與b必為一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，不妨設(shè)a=2s+1，b=2t（s，t為整數(shù)）則P=4n+3=a²+b²=（2s+1）²+（2t）²=4（s²+s+t²）+1，得出矛盾即可證明．

解答：證明：假設(shè)P=4n+3=a²+b²（a，b為整數(shù)），則a與b必為一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，不妨設(shè)a=2s+1，b=2t（s
，t為整數(shù)）則P=4n+3=a²+b²=（2s+1）²+（2t）²=4（s²+s+t²）+1，
即P既是4n+3型的數(shù)，又是4m+1型的數(shù)，出現(xiàn)矛盾，
故形如4n+3的整數(shù)是（n為整數(shù)）不能化為兩個(gè)整數(shù)的平方和．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了整數(shù)的奇偶性問(wèn)題，難度一般，關(guān)鍵是根據(jù)已知得出矛盾，從而證明之．