Question

如圖，已知拋物線C：y=-

1

2

x²+

1

2

x+3與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，過定點(diǎn)的直線l：y=

1

a

x-2（a≠0）交x軸于點(diǎn)Q．
（1）求證：不論a取何實(shí)數(shù)（a≠0）拋物線C與直線l總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)：A（

 

）、B（

 

）及點(diǎn)Q的坐標(biāo)：Q（

 

）（用含a的代數(shù)式表示）；并依點(diǎn)Q坐標(biāo)的變化確定：當(dāng)

 

時(shí)（填上a的取值范圍），直線l與拋物線C在第一象限內(nèi)有交點(diǎn)；
（3）設(shè)直線l與拋物線C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得∠APB=90°？若存在，求出此時(shí)a的值；不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）求證：不論a取何實(shí)數(shù)（a≠0）拋物線C與直線l總有兩個(gè)交點(diǎn)，就是求兩個(gè)函數(shù)解析式組成的方程組有兩個(gè)解，即利用代入法得到一個(gè)一元二次方程，可以根據(jù)根的判別式得到a的不等式，就可以求a的范圍；
（2）拋物線y=-

1

2

x²+

1

2

x+3中令y=0，就可以求出與x軸的交點(diǎn)，得到點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．在直線l：y=

1

a

x-2（a≠0）中令y=0，解得x=2a，就可以求出Q的坐標(biāo)；
（3）設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），連AP、PB，使∠APB=90°，作PN⊥AB于N，易得△APN∽△PBN，得到PN²=AN•BN，就可以得到關(guān)于AN，BN的方程，再根據(jù)P（x₀，y₀）在函數(shù)的圖象上，就可以得到關(guān)于AN、BN的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就可以求出P的坐標(biāo)．

解答：（1）證明：由

y= 1 2 x2+ 1 2 x+3 y= 1 a x-2

消去y，得x²-（

2

a

-1）x-10=0
∵△=（

2

a

-1）²+40＞0（2分）
∴不論a（a≠0）取何實(shí)數(shù)，方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，
故不論a（a≠0）取何實(shí)數(shù)，
拋物線C與直線l總有兩個(gè)交點(diǎn)；（3分）

（2）解：A（-2，0），B（3，0），Q（2a，0）（每點(diǎn)坐標(biāo)（1分），共6分）
0＜a＜

3

2

（寫成a＞0或a＜

3

2

只能給1分）；（8分）

（3）解：一、設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），連AP、PB，使∠APB=90°，
作PN⊥AB于N，則AN=x₀+2，BN=3-x₀，PN=y₀
∵∠APB=90°，PN⊥AB，則△APN∽△PBN．
∴PN²=AN•BN，
則有y₀²=（x₀+2）（3-x₀）
即y₀²=-x₀²+x₀+6①（11分）
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在拋物線C上
∴y0=-

1

2

x

2 0

+

1

2

x0+3
即2y₀=-x₀²+x₀+6
由①、②可得y₀²=2y₀（y₀＞0）
∴y₀=2（13分）
把y₀=2代入②，得x₀=2或-1，
∴x₀＞0
∴x₀＞2
把x₀=2，y₀=2代入y0=

1

a

x0-2，
得a=

1

2

∴存在滿足條件的P點(diǎn)，此時(shí)a=

1

2

．（14分）
二、設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P（x₀，y₀），連PA、PB，使∠APB=90°
在Rt△APB中，斜邊的中點(diǎn)M(

1

2

，0)，過點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足為N，N的坐標(biāo)為（x₀，0），連接PM，由Rt△PMN，得MN²+PN²=PM²
∴（x₀-

1

2

）²+y²=

25

4

由

(x0- 1 2 )2+ y 2 0 = 25 4 ① y0=- 1 2 x 2 0 + 1 2 x0+3②

整理，得

x 2 0 -x0-6+ y 2 0 =0③ x 2 0 -x0-6+2 y 2 0 =④

③-④得，y₀²=2y₀．
三、設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P（x₀，y₀），連PA、PB，使∠APB=90°
過點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足為N，根據(jù)勾股定理得AP²+PB²=AB²=AN²+NP²+NP²+NB²=25
即（x₀+2）²+y₀²+y₀²+（3-x₀）²=25
整理得x₀²-x₀-6+y₀²=0
解方程組：

x 2 0 -x0-6+ y 2 0 =0 x 2 0 -x0-6+2y0=0

得：y₀=0或y₀=2．
所以x=3、-2、

1± 17

2

，
所以a=

3

2

（舍去），或a=-1（舍去），a=

1± 17

8

（負(fù)值舍去）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用韋達(dá)定理判斷兩個(gè)二元二次方程組成的解的個(gè)數(shù)．并且利用了相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等．