Question

如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連結(jié)PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BP=BQ，連結(jié)CQ．

（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并說明理由．

（2）若PA=3，PB=4，PC=5，連結(jié)PQ，判斷△PQC的形狀并說明理由．

Answer 1

 解：（1）AP=CQ．理由如下：

∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，

∴△BPQ為等邊三角形，

∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，

∴∠CBQ=∠ABP，

在△ABP和△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ（SAS），

∴AP=CQ；

（2）∵等邊△ABC和等邊△BPQ中，

PB=PQ=4，PA=QC=3，

∵PQ²+CQ²=PC²，

∴△PQC為直角三角形（勾股定理逆定理）．