已知拋物線y=-
23
(x+2)2+k與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上,C點(diǎn)在y軸的正半軸上,線段OB、OC的長(zhǎng)(OB<OC)是方程x2-10x+16=0的兩個(gè)根.
(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出拋物線的大致圖象并標(biāo)明頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)連AC、BC,若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與A、B不重合),過(guò)E作EF∥AC交BC于F,連CE,設(shè)AE=m,△CEF的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量m的取值范圍;
(4)在(3)的基礎(chǔ)上說(shuō)明S是否存在最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo),判斷此時(shí)△BCE的形狀;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)根據(jù)方程的兩個(gè)根及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸,易求A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求出函數(shù)解析式,根據(jù)定點(diǎn)畫(huà)出平滑的曲線;
(3)由勾股定理求出AC的長(zhǎng),由三角形內(nèi)的平行關(guān)系,得到一個(gè)比例關(guān)系,從而求出EF,作輔助線把△CEF的面積用m表示出來(lái),再求出其最值,并求出頂點(diǎn)坐標(biāo),也解決了第三問(wèn).
解答:解:(1)方程x2-10x+16=0的兩根為x1=8,x2=2,
∴OB=2,OC=8,
∴B(2,0)C(0,8)
∵函數(shù)y=-
2
3
(x+2)2+k的對(duì)稱(chēng)軸為x=-2,
∴A(-6,0),
即A(-6,0)B(2,0)C(0,8).(3分)

(2)B點(diǎn)在y=-
2
3
(x+2)2+k上,
∴0=-
2
3
(2+2)2+k,
∴k=
23
3
.(5分)
函數(shù)解析式為y=-
2
3
(x+2)2+
23
3
,
頂點(diǎn)坐標(biāo)為-2,
23
3
),大致圖象及頂點(diǎn)坐標(biāo)如右.(7分)精英家教網(wǎng)

(3)∵AE=m,AB=8,
∴BE=8-m,
∵OC=8,OA=6,據(jù)勾股定理得AC=10,
∵AC∥EF,
AC
EF
=
AB
BE
10
EF
=
8
8-m
,EF=
5(8-m)
4
,(10分)
過(guò)F作FG⊥AB于G,
∵sin∠CAB=sin∠FEB=
4
5
,
而sin∠FEB=
FG
EF

∴FG=8-m.  12分
∵S=S△CEB-S△FEB=
1
2
×BE×OC-
1
2
×BE×FG=-
1
2
m2+4m,
∴S與m的函數(shù)關(guān)系式為S=-
1
2
m2+4m,m的取值為0<m<8.

(4)∵S=-
1
2
m2+4m中-
1
2
<0

∴S有最大值.
S=-
1
2
(m-4)2+8,當(dāng)m=4時(shí),S有最大值為8,
E點(diǎn)坐標(biāo)為:E(-2,0),
∵B(2,0),E(-2-,0),
∴CE=CB
∴△BCE為等腰三角形.
點(diǎn)評(píng):此題考查拋物線性質(zhì)及對(duì)稱(chēng)軸,因圖形很特殊,把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中來(lái)解,注意直線平行的應(yīng)用,最后把求面積最值轉(zhuǎn)化到求函數(shù)最值問(wèn)題,要學(xué)會(huì)這種做題思想.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線y=x2+kx-
3
4
k2
(k為常數(shù),且k>0).
(1)證明:此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn);
(2)設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是M、N.
①M(fèi)、N兩點(diǎn)之間的距離為MN=
 
.(用含k的式子表示)
②若M、N兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離分別為OM、ON,且
1
ON
-
1
OM
=
2
3
,求k的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•金灣區(qū)一模)已知拋物線y=x2+kx-
3
4
k2(k為常數(shù),且k>0).
(1)證明:此拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)設(shè)拋物線與x軸交于M(x1,0),N(x2,0)兩點(diǎn),且
1
x1
+
1
x2
=
2
3
,求k的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•金東區(qū)模擬)已知拋物線y=-
2
3
(x+1)(x-3)
與x軸相交于點(diǎn)A,B(A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊),點(diǎn)C為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線y=m(0<m<2)與線段AC,BC分別相交于D,E兩點(diǎn),在x軸上的點(diǎn)P,使得△DEP為等腰直角三角形,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為
P1(-
1
2
,0),P2(1,0),P3
1
2
,0)
P1(-
1
2
,0),P2(1,0),P3
1
2
,0)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O及A(-2
3
,0),其頂點(diǎn)為B(m,3),C是AB中點(diǎn),點(diǎn)E是直線OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn)E與點(diǎn)O不重合),點(diǎn)D在y軸上,且EO=ED.
(1)求此拋物線及直線OC的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到拋物線上時(shí),求BD的長(zhǎng);
(3)連接AD,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),△AED的面積為
3
3
4
?請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).

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