在圖中△ABC的外部任取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，分別取PA、PB、PC的中點(diǎn)D、E、F，連接DE、EF、DF．
（1）△ABC與△DEF相似嗎？為什么？
（2）如果△ABC的周長(zhǎng)為24，求△DEF的周長(zhǎng)．
分析：（1）相似，利用三角形的中位線定理，可以得到兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，根據(jù)三邊的比對(duì)應(yīng)相等的三角形相似即可證得；
（2）兩個(gè)三角形相似，且已知相似比，根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比即可求解．
解答：解：（1）相似．
理由：∵D，E是PA，PB的中點(diǎn)，
∴DE=
1
2
AB，
∴
DE
AB
=
1
2
，
同理，
DF
AC
=
1
2
，
EF
BC
=
1
2
，
∴
DE
AB
=
DF
AC
=
EF
BC
=
1
2
，
∴△ABC∽△DEF；

（2）∵△ABC∽△DEF，且
DE
AB
=
DF
AC
=
EF
BC
=
1
2
，
∴△DEF的周長(zhǎng)是：
1
2
×24=12．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確證明兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等是關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，△ABC中，∠A=90°以直角邊AB為邊，在三角形ABC的外部作正方形ABDE，AF是斜邊BC的高，延長(zhǎng)FA使AG=BC．
求證：BG=CD．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在圖中△ABC的外部任取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，分別取PA、PB、PC的中點(diǎn)D、E、F，連接DE、EF、DF．
（1）△ABC與△DEF相似嗎？為什么？
（2）如果△ABC的周長(zhǎng)為24，求△DEF的周長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

作業(yè)寶（1）閱讀理解：
我們知道，只用直尺和圓規(guī)不能解決的三個(gè)經(jīng)典的希臘問(wèn)題之一是三等分任意角，但是這個(gè)任務(wù)可以借助如圖1所示的一邊上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角頂點(diǎn)為P，
“寬臂”的寬度=PQ=QR=RS，（這個(gè)條件很重要哦�。┕闯叩囊贿匨N滿足M，N，Q三點(diǎn)共線（所以PQ⊥MN）．
下面以三等分∠ABC為例說(shuō)明利用勾尺三等分銳角的過(guò)程：
第一步：畫直線DE使DE∥BC，且這兩條平行線的距離等于PQ；
第二步：移動(dòng)勾尺到合適位置，使其頂點(diǎn)P落在DE上，使勾尺的MN邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，同時(shí)讓點(diǎn)R落在∠ABC的BA邊上；
第三步：標(biāo)記此時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)P所在位置，作射線BQ和射線BP．
請(qǐng)完成第三步操作，圖中∠ABC的三等分線是射線______、______．
（2）在（1）的條件下補(bǔ)全三等分∠ABC的主要證明過(guò)程：
∵_(dá)_____，BQ⊥PR，
∴BP=BR．（線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）
∴∠______=∠______．
∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT=PQ，
∴∠______=∠______．
（角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）
∴∠______=∠______=∠______．
（3）在（1）的條件下探究：數(shù)學(xué)公式是否成立？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)?jiān)趫D2中∠ABC的外部畫出數(shù)學(xué)公式（無(wú)需寫畫法，保留畫圖痕跡即可）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：江蘇省期中題 題型：解答題

在圖中△ABC的外部任取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，分別取PA、PB、PC的中點(diǎn)D、E、F，連接DE、EF、DF。
（1）△ABC與△DEF相似嗎？為什么？
（2）如果△ABC的周長(zhǎng)為24，求△DEF的周長(zhǎng)。

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