Question

以AB=10為直徑的⊙O中，定點C和動點P位于AB的兩側，且BC：AC=4：3，動點P在 

AB

（不含A、B）上運動，CP⊥CQ與PB的延長線交于點Q．下面說法錯誤的是（　�。�

• A、當P點運動到

  AB

  的中點時，CP=7

  2

  ，CQ=

  28 2

  3

• B、當PC為⊙O的直徑時，CQ最長
• C、動點P在運動過程中，∠Q是定值
• D、動點P在運動過程中，△ABC有可能與△PCQ全等

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：A、根據等于直角三角形的性質求得PB=5

2

，然后根據

AD

PD

=

CD

BD

=

AC

PB

求得DC=

24 2

7

，PD=

25 2

7

，即可求得CP，最后根據△PCQ∽△ACB對應邊成比例求得CQ的值來判斷；
B、根據PC：CQ=AC：BC=6：8即可判斷；
C、根據三角形相似即可判定；
D、因為∠PBC＞∠ABC，所以PC＞AC，所以△ABC與△PCQ不會全等來判斷；

解答：解：A、∵P點運動到

AB

的中點，
∴∠ACP=∠BCP，PB=5

2

，
∴AD：BD=6：8，
∴AD=

30

7

，BD=

40

7

，
∵

AD

PD

=

CD

BD

=

AC

PB

，
∴DC=

24 2

7

，PD=

25 2

7

，
∴CP=7

2

，
∵△PCQ∽△ACB，
∴CQ：CP=CB：AC，
∴CQ=

28 2

3

；
故A正確；
B、∵PC：CQ=AC：BC=6：8，
∴當PC為最大值，CQ最大，
∴當PC為⊙O的直徑時，CQ最長，故B正確；
C、∵∠P=∠A，∠PCQ=∠ACB=90°，
∴∠Q=∠ABC，
∴動點P在運動過程中，∠Q是定值，故C正確；
D、∵∠PBC＞∠ABC，
∴PC＞AC，所以不能確定△ABC與△PCQ全等，故D錯誤；
故選D．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、同弧所對的圓周角相等、直徑是圓的最大的弦、三角形的內角和定理等，是基礎題型．