Question

將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示，將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖2所示，觀察圖2可知：與BC相等的線段是______，∠CAC′=______°。

問題探究：如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q，試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.，

拓展延伸：如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H，若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

 

 

Answer 1

【答案】

（1）DA，90；（2）FQ=EP；證明如下；（3）HE=HF，理由如下.

【解析】

試題分析：①觀察圖形即可發(fā)現(xiàn)DA′=BC，A′C=AC，DC′=BA，所以△ABC≌△AC′D，即BC=DA、∠CAC′=90°可解題；

②由全等三角形△APE≌△BGA的對應(yīng)邊相等知，EP=AG；同理由全等三角形△FQA≌△AGC的對應(yīng)邊相等知FQ=AG，所以易證EP=FQ；

③過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q．根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可解題．

試題解析：①觀察圖形即可發(fā)現(xiàn)△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB，

∴∠CAC′=180°-∠C′AD-∠CAB=90°；

②∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，

∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，

又∵AF=AC，

∴△AFQ≌△CAG，

∴FQ=AG，

同理EP=AG，

∴FQ=EP．

③HE=HF．

理由：過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q．

∵四邊形ABME是矩形，

∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°，

又AG⊥BC，

∴∠BAG+∠ABG=90°，

∴∠ABG=∠EAP．

∵∠AGB=∠EPA=90°，

∴△ABG∽△EAP，

∴AG：EP=AB：EA．

同理△ACG∽△FAQ，

∴AG：FQ=AC：FA．

∵AB=k•AE，AC=k•AF，

∴AB：EA=AC：FA=k，

∴AG：EP=AG：FQ．

∴EP=FQ．

∵∠EHP=∠FHQ，

∴Rt△EPH≌Rt△FQH．

∴HE=HF．

考點(diǎn):（1）三角形全等的判定與性質(zhì)；（2）相似三角形的判定與性質(zhì).