Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系，直線y=-

4

3

(x-6)與x軸、y軸分別相交于A、D兩點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，現(xiàn)將△AOB沿AB翻折180°，使點(diǎn)O剛好落在直線AD的點(diǎn)C處．
（1）求BD的長(zhǎng)．
（2）設(shè)點(diǎn)N是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、D不重合），S_△NBD=S₁，S_△NOA=S₂，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，S₁•S₂的值等于90，并求出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，簡(jiǎn)述理由．

Answer 1

分析：（1）先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由勾股定理求出AD的長(zhǎng)度，再由圖形翻折變換的性質(zhì)即可得出AC及DC的長(zhǎng)，由相似三角形的判定定理得出△DBC∽△DAO，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出DB的長(zhǎng)；
（2）設(shè)N（x，y），由三角形的面積公式即可用x、y表示出S₁，S₂的值，由S₁•S₂=90即可求出x的值，進(jìn)而得出N點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由于△MAC為直角三角形，所以∠MCA=90°或∠MAC=90°，需分情況討論：
若∠MCA=90°則M與B重合，所以M（0，3）；若∠MAC=90°，則△AMD∽△OAD，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出DM的長(zhǎng)，進(jìn)而得出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵令y=0，得x=6；
令x=0，得y=8．
∴A（6，0），D（0，8）．
∴AD=

OA2+OB2

=

62+82

=10，
∵將△AOB沿AB翻折180°，使點(diǎn)O剛好落在直線AD的點(diǎn)C處，
∴AC=AO=6，DC=AD-AC=10-6=4．
∵∠D=∠D，∠DCB=∠O=90°，
∴△DBC∽△DAO．
∴DC：DO=DB：DA，即4：8=DB：10，
∴DB=5；

（2）如圖1，設(shè)N（x，y）．
s₁=

1

2

×5•x=

5

2

x，s₂=

1

2

×6•y=3y，
s₁•s₂=

5

2

x•3y=

15

2

xy=

15

2

x•（-

4

3

x+8）=-10x²+60x=90．
解得x=3，
則y=-

4

3

（x-6）=4，
∴N（3，4）；


（3）如圖2，∵△MAC為直角三角形，
∴∠MCA=90°或∠MAC=90°．
若∠MCA=90°，則M與B重合，
∵BD=5，
∴M（0，3）；
若∠MAC=90°，則△AMD∽△OAD，
∴DM：AD=AD：OD，
∴DM：10=10：8．
∴DM=12.5，OM=12.5-8=4.5，
∴M（0，-4.5），
綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為M₁（0，3），M₂（0，-4.5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形翻折變換的性質(zhì)及勾股定理、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．