Question

已知a、b、c為實數(shù)，設A=a²-2b+

π

2

，B=b²-2c+

π

3

，C=c²-2a+

π

6

，證明：A、B、C中至少有一數(shù)大于0．

Answer 1

考點：配方法的應用,非負數(shù)的性質：偶次方

專題：證明題

分析：通過利用A、B、C的和大于0說明A、B、C中至少有一數(shù)大于0：利用配方法可得A+B+C=（a-1）²+（b-1）²+（c-1）²+π-3，利用非負數(shù)的性得到A+B+C＞0，然后根據(jù)有理數(shù)的性質可得到A、B、C中至少有一數(shù)大于0．

解答：證明：A+B+C=a²-2b+

π

2

+b²-2c+

π

3

+c²-2a+

π

6

=a²-2a+1+b²-2b+1+c²-2c+π-3
=（a-1）²+（b-1）²+（c-1）²+π-3，
∵，（a-1）²≥0，（b-1）²≥0，（c-1）²≥0，
而π-3＞0，
∴A+B+C＞0，
∴A、B、C中至少有一個正數(shù)，
即A、B、C中至少有一數(shù)大于0．

點評：本題考查了配方法的應用：用配方法解一元二次方程，配方法的理論依據(jù)是公式a²±2ab+b²=（a±b）²；利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數(shù)的值．也考查了非負數(shù)的性質．