【題目】已知:如圖,拋物線的頂點為A0,2),與x軸交于B(﹣2,0)、C2,0)兩點.

1)求拋物線的函數(shù)表達式;

2)設點P是拋物線y上的一個動點,連接PO并延長至點Q,使OQ2OP.若點Q正好落在該拋物線上,求點P的坐標;

3)設點P是拋物線y上的一個動點,連接PO并延長至點Q,使OQmOPm為常數(shù));

證明點Q一定落在拋物線上;

設有一個邊長為m+1的正方形(其中m3),它的一組對邊垂直于x軸,另一組對邊垂直于y軸,并且該正方形四個頂點正好落在拋物線組成的封閉圖形上,求線段PQ被該正方形的兩條邊截得線段長最大時點Q的坐標.

【答案】(1)(2)(,1)(-,1)(3)①見解析②當點Q與正方形右下或左下頂點重合時,PQ被正方形上下兩邊所截線段最長,此時點Q的坐標為(2+,-5-4)或(-2-,-5-4).

【解析】

1)用兩點式求出拋物線解析式;

2)設點P坐標,作PEx軸,FQx軸,利用相似關系求出點Q坐標,因為點Q在拋物線上,所以將點Q坐標代入解析式,求得點P坐標;

3)①同(2)的方法,求出點Q坐標代入y2解析式,可證明點Q在拋物線y2上;

②因為y1y2拋物線都是以y軸為對稱軸的拋物線,所以正方形也是以y軸對稱,從而獲得正方形右側點的橫坐標,代入各自解析式獲得縱坐標,以右側兩點的縱坐標做差等于正方形邊長,列出方程求出m的值,從而獲得正方形四個頂點的坐標,由圖可知,當Q點與正方形的左下和右下端點重合時PQ被正方形所截的線段最大,從而獲得點Q坐標.

解:(1)由條件可設拋物線y1ax2+2,將C2,0)代入

可得拋物線

2)如圖,作PEx軸,FQx

設點Pt,),

利用△PEO∽△OFQ可求得點Q(﹣2t,t24).

Q(﹣2tt24)代入中,

得:t24

3t26,

t,

P1,1),P2,1);

3)①證明:設點Pt,),

利用相似可求得點Q(﹣mt).

x=﹣mt代入中,

得:

∴點Q一定落在拋物線上;

②如圖所示

∵正方形的邊長為m+1,

由拋物線的對稱性可知

正方形右邊兩個頂點橫坐標為,

x代入拋物線解析式

可得兩點縱坐標分別為:,

-m+1

解得:

m3,

.

∴正方形右邊兩個頂點橫坐標為,

x代入得:

,

∴正方形右下頂點的縱坐標為

∴正方形右下頂點的坐標為(),

同理,正方形左下頂點的坐標為(,).

PQy軸所成的角為α,當PQ與正方形上下兩邊相交時,

PQ被正方形上下兩邊所截線段的長,

α增大時,cosα減小,增大,

PQ經(jīng)過正方形右下頂點時,α最大,PQ被正方形上下兩邊所截線段最大,此時點Q與正方形右下或左下頂點重合;

PQ與正方形上右兩邊(或上左兩邊)相交時,由圖形可知隨著α的增大,PQ被正方形上下兩邊所截線段的長減小,

綜上所述,當點Q與正方形右下或左下頂點重合時,PQ被正方形上下兩邊所截線段最長,

此時點Q的坐標為()或(,).

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等級

成績(得分)

頻數(shù)(人數(shù))

頻率

A

910

x

m

B

87

23

0.46

C

65

y

n

D

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3

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