Question

若正整數(shù)A使得（A-42）能整除（42A-1），那么所有這樣的A是？

Answer 1

分析：假設（42A-1）÷（A-42）=C，可得A=42+

43×41

C-42

，根據(jù)A為整數(shù)，可得

43×41

C-42

為整數(shù)，從而得到C-42=±43或C-42=±41或C-42=±1或C-42=±43×41，從而求解．

解答：解：假設（42A-1）÷（A-42）=C，
A•C-42C=42A-1，
A•（C-42）=42C-1，
A=

(42C-42×42)+42×42-1

C-42

=42+

42×42-1×1

C-42

=42+

(42+1)(42-1)

C-42

=42+

43×41

C-42

，
由于A為整數(shù)，
所以

43×41

C-42

為整數(shù)，
又由于43和41都為質(zhì)數(shù)，
所以C-42=±43或C-42=±41或C-42=±1或C-42=±43×41，
則相對應的A為83，1，85，-1，1805，-1721，43，41，
因為A為正整數(shù)，
所以A為83，85，1，1805，43，41．

點評：此題考查了數(shù)的整除性，本題難點是得到A=42+

43×41

C-42

，再根據(jù)A為整數(shù)，得到C的值．