Question

將直角三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α，得到△DCE，其中CE與AB交于點(diǎn)F，∠ABC=30°，連接BE，若△BEF為等腰三角形（即有兩內(nèi)角相等），則旋轉(zhuǎn)角α的值為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCE=α，CB=CE，再利用三角形內(nèi)角和得到∠CBE=∠CEB=90°-

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α，則∠EBF=∠CBE-∠CBA=60°-

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α，接著利用三角形外角性質(zhì)得∠BFE=30°+α，
然后分類(lèi)討論：當(dāng)∠BFE=∠BEF時(shí)，即30°+α=60°-

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α或當(dāng)∠BFE=∠BEF時(shí)，即30°+α=90°-

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α，再分別解方程求出α即可．

解答：解：∵直角三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α，得到△DCE，
∴∠BCE=α，CB=CE，
∴∠CBE=∠CEB=

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（180°-α）=90°-

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α，
∴∠EBF=∠CBE-∠CBA=90°-

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α-30°=60°-

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α，
∵∠BFE=∠FCB+∠FBC，
∴∠BFE=30°+α，
∵△BEF為等腰三角形，
∴當(dāng)∠BFE=∠BEF時(shí)，即30°+α=60°-

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α，解得α=20°；
當(dāng)∠BFE=∠BEF時(shí)，即30°+α=90°-

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α，解得α=40°，
即旋轉(zhuǎn)角α的值為20°或40°．
故答案為20°或40°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．