Question

如圖，⊙O的半徑為2，直徑CD經(jīng)過弦AB的中點G，∠ADC=75°．
（1）填空：cos∠ACB=

 

；
（2）求OG的長．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,圓周角定理,特殊角的三角函數(shù)值

專題：

分析：（1）先根據(jù)圓周角定理得出∠ABC=∠ADC=75°，再由垂徑定理得出

AD

=

BD

，故

AC

=

BC

，由此可得出∠BAC的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理可得出結(jié)論；
（2）連接OA，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ACG的度數(shù)，由圓周角定理求出∠AOG的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠ADC=75°，
∴∠ABC=∠ADC=75°．
∵直徑CD經(jīng)過弦AB的中點G，
∴

AD

=

BD

，
∴

AC

=

BC

，
∴∠BAC=∠ABC=75°，
∴∠ACB=180°-75°-75°=30°，
∴cos∠ACB=cos30°=

3

2

．
故答案為：

3

2

；

（2）連接OA，
∵直徑CD經(jīng)過弦AB的中點G，
∴AB⊥CD．
∵∠BAC=75°，
∴∠ACG=90°-75°=15°，
∴∠AOG=30°．
∵OA=2，
∴OG=OA•cos30°=2×

3

2

=

3

．

點評：本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．