【題目】已知在平面直角坐標系xOy中,O為坐標原點,線段AB的兩個端點的坐標分別為A (0,2),B(﹣1,0),點C為線段AB的中點,現(xiàn)將線段BA繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)、經(jīng)過點D.
(1)如圖1,若該拋物線經(jīng)過原點O,且a=﹣1.
①求點D的坐標及該拋物線的解析式;
②連結(jié)CD,問:在拋物線上是否存在點P,使得∠POB與∠BCD互余?若存在,請求出所有滿足條件的點P的坐標,若不存在,請說明理由.
(2)如圖2,若該拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過點E(﹣1,1),點Q在拋物線上,且滿足∠QOB與∠BCD互余,若符合條件的Q點的個數(shù)是4個,請直接寫出a的取值范圍 .
【答案】(1)①D(﹣3,1),拋物線的表達式為:y=﹣x2﹣x;②存在,點P的坐標為:P(﹣,)或(﹣,﹣);(2)a<﹣或a>1+或﹣<a<1-.
【解析】
(1)①為A (0,2),B(-1,0),BA繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,把原點坐標、點D坐標、a=-1代入拋物線方程,即可求解;
②如下圖所示,∠QOB與∠BCD互余,直線OP的方程為y=-x,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立即可求解,當P在x軸上方時,用同樣的方法可以求解;
(2)把D、E坐標代入拋物線方程,解得:y=ax2+4ax+(3a+1),①當a<0時,若符合條件的Q點的個數(shù)是4個,則Q點在x軸上下各2個,則3a+1<0,然后分Q在x軸上方和x軸下方時兩種情況即可求解,同樣可以求出a>0的情況.
(1)為A (0,2),B(﹣1,0),
①點C為線段AB的中點,則C(-,1),
BA繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,
則D(﹣3,1),∴DC∥x軸,
把原點坐標、點D坐標、a=﹣1代入拋物線方程,
解得:拋物線的表達式為:y=﹣x2﹣x…①;
②如下圖所示,∠QOB與∠BCD互余,
當P在x軸上方時,OP⊥AB,
直線AB的k值為2,則直線OP的k值為﹣,
直線OP的方程為y=﹣x…②,
①、②聯(lián)立并整理得:x=0(舍去),x=﹣,
則點P(﹣, );
當P在x軸上方時,
直線OP的方程為y=x…③,
①、③聯(lián)立并整理得:x=0(舍去),x=﹣,
則P′(﹣,﹣);
故:存在,點P的坐標為:P(﹣,)或(﹣,﹣);
(2)把D、E坐標代入拋物線方程,
解得:y=ax2+4ax+(3a+1)…④,
函數(shù)與y軸交點的縱坐標為:3a+1
有(2)知:當Q在x軸上方時,OQ的方程為:y=﹣x…⑤,
當Q在x軸下方時,OQ的方程為:y=x…⑥,
①當a<0時,若符合條件的Q點的個數(shù)是4個,則Q點在x軸上下各2個,則3a+1<0,即:,
Q在x軸上方時,聯(lián)立④、⑤得:-x=ax2+4ax+(3a+1),△=4a2+>0,即:必定有2個Q點,
Q在x軸下方時,聯(lián)立④、⑥得:x=ax2+4ax+(3a+1),△=4a2﹣8a+>0,a>1+或a<1﹣,
故:a<﹣;
②當a<0時,若符合條件的Q點的個數(shù)是4個,則Q點在x軸上下各2個,則3a+1>0,即:a>﹣,
Q在x軸上方時,聯(lián)立④、⑤得:-x=ax2+4ax+(3a+1),△=4a2+>0,即:必定有2個Q點,
Q在x軸下方時,聯(lián)立④、⑥得:x=ax2+4ax+(3a+1),△=4a2﹣8a+>0,a>1+或a<1﹣,
故:a>1+或﹣<a<1-.
綜上所述:a<﹣或a>1或﹣<a<1-.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直徑為 10cm 的⊙O 中,兩條弦 AB,CD 分別位于圓心的異側(cè),AB∥CD,且,若 AB=8cm,則 CD 的長為_____cm.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(3,0),與y軸交于C(0,3),拋物線頂點為D點.
(1)求此拋物線解析式;
(2)如圖1,點P為拋物線上的一個動點,且在對稱軸右側(cè),若△ADP面積為3,求點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,PA交對稱軸于點E,如圖2,過E點的任一條直線與拋物線交于M,N兩點,直線MD交直線y=﹣3于點F,連結(jié)NF,求證:NF∥y軸.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象交坐標軸于 A(﹣1,0),B(4,0),C
(0,﹣4)三點,點 P 是直線 BC 下方拋物線上一動點.
(1) 求這個二次函數(shù)的解析式;
(2) 是否存在點 P,使△POC 是以 OC 為底邊的等腰三角形?若存在,求出 P 點坐標;若不存在,請說明理由;
(3) 在拋物線上是否存在點 D(與點 A 不重合)使得 S△DBC=S△ABC,若存在,求出點 D的坐標;若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我們約定:對角線互相垂直的凸四邊形叫做“正垂形”.
(1)①在“平行四邊形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“正垂形”的有 ;
②在凸四邊形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,則該四邊形 “正垂形”.(填“是”或“不是”)
(2)如圖1,A,B,C,D是半徑為1的⊙O上按逆時針方向排列的四個動點,AC與BD交于點E,∠ACB﹣∠CDB=∠ACD﹣∠CBD,當≤OE≤時,求AC2+BD2的取值范圍;
(3)如圖2,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a>0,c<0)與x軸交于A,C兩點(點A在點C的左側(cè)),B是拋物線與y軸的交點,點D的坐標為(0,﹣ac),記“正垂形”ABCD的面積為S,記△AOB,△COD,△AOD,△BOC的面積分別為S1,S2,S3,S4.試直接寫出滿足下列三個條件的拋物線的解析式;
①; ②; ③“正垂形”ABCD的周長為12.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在每個小正方形的邊長都是的正方形網(wǎng)格中,的三個頂點都在小正方形的格點上.將繞點旋轉(zhuǎn)得到(點、分別與點、對應),連接,.
(1)請直接在網(wǎng)格中補全圖形;
(2)四邊形的周長是________________(長度單位)
(3)直接寫出四邊形是何種特殊的四邊形.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某單位舉行“健康人生”徒步走活動,某人從起點體育村沿建設路到市生態(tài)園,再沿原路返回,設此人離開起點的路程s(千米)與徒步時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,其中從起點到市生態(tài)園的平均速度是4千米/小時,用2小時,根據(jù)圖象提供信息,解答下列問題.
(1)求圖中的a值.
(2)若在距離起點5千米處有一個地點C,此人從第一次經(jīng)過點C到第二次經(jīng)過點C,所用時間為1.75小時.
①求AB所在直線的函數(shù)解析式;
②請你直接回答,此人走完全程所用的時間.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】國慶假期期間,某單位8名領(lǐng)導和320名員工集體外出進行素質(zhì)拓展活動,準備租用45座大車或30座小車.若租用2輛大車3輛小車共需租車費1700元;若租用3輛大車2輛小車共需租車費1800元
(1)求大、小車每輛的租車費各是多少元?
(2)若每輛車上至少要有一名領(lǐng)導,每個人均有座位,且總租車費用不超過3100元,求最省錢的租車方案.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com