Question

已知兩直線l₁，l₂分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(－3，0)，并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于y正半軸的點(diǎn)C時(shí)，恰好有l₁⊥l₂，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的對(duì)稱軸與直線l₂交于點(diǎn)K，如圖所示．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式；

(2)拋物線的對(duì)稱軸被直線l₁，拋物線，直線l₂和x軸依次截得三條線段，問(wèn)這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)當(dāng)直線l₂繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M，請(qǐng)找出使△MCK為等腰三角形的點(diǎn)M，簡(jiǎn)述理由，并寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法1：由題意易知：△BOC∽△COA 　　∴，即 　　∴ 　　∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，) 　　由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為 　　把A(1，0)，B(，0)的坐標(biāo)分別代入，得 　　 　　解這個(gè)方程組，得 　　∴拋物線的函數(shù)解析式為 　　解法2：由勾股定理，得 　　又∵OB＝3，OA＝1，AB＝4 　　∴ 　　∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，) 　　由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，把C(0，)代入 　　函數(shù)解析式得 　　所以，拋物線的函數(shù)解析式為 　　(2)解法1：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD＝DE＝EF 　　理由如下： 　　可求得直線的解析式為，直線的解析式為 　　拋物線的對(duì)稱軸為直線 　　由此可求得點(diǎn)K的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，0) 　　∴KD＝，DE＝，EF＝ 　　∴KD＝DE＝EF 　　解法2：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD＝DE＝EF 　　理由如下： 　　由題意可知Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∠CAB＝60°，則可得 　　，， 　　由頂點(diǎn)D坐標(biāo)(，)得 　　∴KD＝DE＝EF＝ 　　(3)解法1：(i)以點(diǎn)K為圓心，線段KC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，交拋物線于點(diǎn)，由拋物線對(duì)稱性可知點(diǎn)為點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn) 　　∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，此時(shí)△為等腰三角形 　　(ii)當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，線段CK長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧時(shí)，與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)A，而三點(diǎn)A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形 　　(iii)作線段KC的中垂線l，由點(diǎn)D是KE的中點(diǎn)，且，可知l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，∴KD＝DC 　　此時(shí)，有點(diǎn)即點(diǎn)D坐標(biāo)為(，)，使△為等腰三角形； 　　綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(，)，(，)時(shí)，△MCK為等腰三角形． 　　解法2：當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(，)，(，)時(shí)，△MCK為等腰三角形． 　　理由如下： 　　(i)連接BK，交拋物線于點(diǎn)G，易知點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，) 　　又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，)，則GC∥AB 　　∵可求得AB＝BK＝4，且∠ABK＝60°，即△ABK為正三角形 　　∴△CGK為正三角形 　　∴當(dāng)與拋物線交于點(diǎn)G，即∥AB時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為(，) 　　(ii)連接CD，由KD＝，CK＝CG＝2，∠CKD＝30°，易知△KDC為等腰三角形 　　∴當(dāng)過(guò)拋物線頂點(diǎn)D時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為(，) 　　(iii)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右邊時(shí)，只有點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，滿足CM＝CK，但點(diǎn)A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形 　　綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(，)，(，)時(shí)，△MCK為等腰三角形．