Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)C同時從點(diǎn)O出發(fā)，分別以每秒2個單位、1個單位的速度向x軸、y軸的正半軸方向運(yùn)動，以O(shè)A、OC為邊作矩形OABC．以M（4，0），N（9，0）為斜邊端點(diǎn)作直角△PMN，點(diǎn)P在第一象限，且，當(dāng)點(diǎn)A出發(fā)時，△PMN同時以每秒0.5個單位的速度沿x軸向右平移．設(shè)點(diǎn)A運(yùn)動的時間為t秒，矩形OABC與△PMN重疊部分的面積為S．
（1）求運(yùn)動前點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）若在運(yùn)動過程中，要使對角線AC上始終存在點(diǎn)Q，滿足∠OQM=90°，請直接寫出符合條件的t的值或t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）如圖，
過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H．
∵M(jìn)N=9-4=5，tan∠PMN=，
∴PM=，PN=，
∴PH=2，MH=4，NH=1．
∴P（8，2）．

（2）運(yùn)動t秒后，OA=2t，OC=t，OM=4-0.5t．
當(dāng)0＜t≤時，S=0；
當(dāng)＜t≤時，S=t²-3t+4；
當(dāng)＜t≤6時，S=-t²+27t-76；
當(dāng)t＞6時，S=5．

（3）當(dāng)以O(shè)M為直徑的圓與AC有公共點(diǎn)時，公共點(diǎn)即是符合條件的點(diǎn)Q．
當(dāng)以O(shè)M為直徑的圓與AC相切時，t=，
∴t的取值范圍是：0＜t≤．
分析：（1）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，可求出MH的長即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再根據(jù)tan∠PMN=，及勾股定理便可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）因為點(diǎn)A；點(diǎn)C同時從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)M（4，0），△PMN同時以每秒0.5個單位的速度沿x軸向右平移，運(yùn)動t秒后，OA=2t，OM=4+0.5t，
①當(dāng)0＜OA≤OM，即0＜2t≤時，兩圖形無交點(diǎn)；
②當(dāng)OM＜OA≤OH，即4+0.5t＜2t≤8+0.5t時，即＜t≤時，矩形OABC與△PMN重疊部分的面積為S等于重疊的三角形的面積．
③當(dāng)OH＜OA≤ON，即8+0.5t＜2t≤9+0.5t，即＜t≤6時，矩形OABC與△PMN重疊矩部分的面積為S等于△MNP的面積減去不重疊的三角形的面積．
④當(dāng)OA＞ON，即2t＞9+0.5t，t＞6時，矩形OABC與△PMN重疊矩部分的面積為S等于△MNP的面積．
（3）根據(jù)圓周角定理可知，當(dāng)以O(shè)M為直徑的圓與AC有公共點(diǎn)時，公共點(diǎn)即是符合條件的點(diǎn)Q，即可求出t的取值范圍．
點(diǎn)評：此題是典型的動點(diǎn)問題，比較復(fù)雜，考查了同學(xué)們對圓及三角形，矩形，等相關(guān)知識的掌握情況，有一定的難度．