Question

【題目】如圖，已知正方形中，相交于點，過點作射線，點是射線上一動點，連接交于點，以為一邊，作正方形，且點在正方形的內部，連接．

（1）求證：；

（2）設，正方形的邊長為，求關于的函數(shù)關系式，并寫出定義域；

（3）連接，當是等腰三角形時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（）；（3）當是等腰三角形時，或

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質得到∠AOD=90°，AO=OD，∠EOH=90°，OE=OH，由全等三角形的性質即可得到結論；

（2）如圖1，過O作ON⊥AB于N，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到，

根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結論；

（3）①當AE=EG時，△AEG是等腰三角形，②當AE=AG時，△AEG是等腰三角形，如圖2，過A作AP⊥EG于P③當GE=AG時，△AEG是等腰三角形，如圖3，過G作GQ⊥AE于Q，根據(jù)相似三角形的性質或全等三角形的性質健即可得到結論．

（1）∵四邊形是正方形，

，

，

∵四邊形是正方形，

，

，

，

即，

．

（2）如圖1，過O作ON⊥AB于N，

則，

∵BF=x，

∴AF=4-x，

∴FN=2-x，

∴，

∴，

∵AM⊥AC，

∴AE∥OB，

∴，

∴，

∴；

（3）①當AE=EG時，△AEG是等腰三角形，則AE=OE，

∵∠EAO=90°，

∴這種情況不存在；

②當AE=AG時，△AEG是等腰三角形，

如圖2，過A作AP⊥EG于P，則AP∥OE，

∴∠PAE=∠AEO，

∴△APE∽△EAO，

∴，

∵AE=AG，

∴，，

∴，

解得：x=2，

②當GE=AG時，△AEG是等腰三角形，

如圖3，過G作GQ⊥AE于Q，

∴∠GQE=∠EAO=90°，

∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，

∴∠EGQ=∠AEO，

∵GE=OE，

∴△EGQ≌△OEA（AAS），

∴，

∴，

∴，

∴BF=2或．