Question

如圖，已知拋物線y=x²﹣x﹣3與x軸的交點為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點為C．

（1）直接寫出A、D、C三點的坐標(biāo)；

（2）若點M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）∵y=x²﹣x﹣3，∴當(dāng)y=0時，x²﹣x﹣3=0，

解得x₁=﹣2，x₂=4．當(dāng)x=0，y=﹣3．

∴A點坐標(biāo)為（4，0），D點坐標(biāo)為（﹣2，0），C點坐標(biāo)為（0，﹣3）；

（2）∵y=x²﹣x﹣3，∴對稱軸為直線x==1．

∵AD在x軸上，點M在拋物線上，

∴當(dāng)△MAD的面積與△CAD的面積相等時，分兩種情況：

①點M在x軸下方時，根據(jù)拋物線的對稱性，可知點M與點C關(guān)于直線x=1對稱，

∵C點坐標(biāo)為（0，﹣3），∴M點坐標(biāo)為（2，﹣3）；

②點M在x軸上方時，根據(jù)三角形的等面積法，可知M點到x軸的距離等于點C到x軸的距離3．當(dāng)y=4時，x²﹣x﹣3=3，解得x₁=1+，x₂=1﹣，

∴M點坐標(biāo)為（1+，3）或（1﹣，3）．

綜上所述，所求M點坐標(biāo)為（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；

（3）結(jié)論：存在．

如圖所示，在拋物線上有兩個點P滿足題意：

①若BC∥AP₁，此時梯形為ABCP₁．

由點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為B，可知BC∥x軸，則P₁與D點重合，

∴P₁（﹣2，0）．∵P₁A=6，BC=2，∴P₁A≠BC，∴四邊形ABCP₁為梯形；

②若AB∥CP₂，此時梯形為ABCP₂．

∵A點坐標(biāo)為（4，0），B點坐標(biāo)為（2，﹣3），∴直線AB的解析式為y=x﹣6，

∴可設(shè)直線CP₂的解析式為y=x+n，將C點坐標(biāo)（0，﹣3）代入，得b=﹣3，

∴直線CP₂的解析式為y=x﹣3．∵點P₂在拋物線y=x²﹣x﹣3上，

∴x²﹣x﹣3=x﹣3，化簡得：x²﹣6x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=6，

∴點P₂橫坐標(biāo)為6，代入直線CP₂解析式求得縱坐標(biāo)為6，∴P₂（6，6）．

∵AB∥CP₂，AB≠CP₂，∴四邊形ABCP₂為梯形．

綜上所述，在拋物線上存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構(gòu)成的四邊形為梯形；點P的坐標(biāo)為（﹣2，0）或（6，6）．