Question

如圖，四邊形ABCD為一梯形紙片，AB∥CD，AD=BC．翻折紙片ABCD，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF．連接CE、CF、BD，AC、BD的交點(diǎn)為O，若CE⊥AB，AB=7，CD=3．下列結(jié)論中：①AC=BD；②EF∥BD；③S_{四邊形AECF}=AC•EF；④EF=；⑤連接FO，則FO∥AB．
正確的序號(hào)是

1. A.
   ①②④
2. B.
   ①③④
3. C.
   ②③⑤
4. D.
   ①②③④⑤

Answer 1

A
分析：根據(jù)等腰梯形的特點(diǎn)和對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積=對(duì)角線積的一半的知識(shí)來判斷．
解答：①∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
在△ADB和△BCA中，
∵，
∴△ADB≌△BCA（SAS），
∴AC=DB，故此選項(xiàng)正確；
②∵CE⊥AB，翻折紙片ABCD，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，
∴∠AEF=45°，EF⊥AC，
∴∠CAB=45°，由△ADB≌△BCA得到∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠OBA=∠AEF=45°那么EF∥BD，故此選項(xiàng)正確；
③∵AC⊥EF，
∴S_{四邊形AECF}=×AC•EF，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④易得BE=（7-3）÷2=2，CE=AE=7-2=5，作FM⊥AB于點(diǎn)M，
故CE：BE=FM：AM，
∵∠AEF=45°，
∴設(shè)FM=ME=x，
∴AM=5-x，
∴=，
解得：x=，
那么EF=，故此選項(xiàng)正確；
⑤∵∠OAB=∠OBA=∠GEA=45°，∠AGE=∠AOB=90°，
AB=7，AE=5，
∴AO=，AG==，
∴OG=OA-AG=-=，
FG=EF-GE=EF-AG=-，
易得OG≠FG，那么∠FOG≠45°，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
正確的序號(hào)是①②④．
故選：A．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，注意使用等腰梯形中的三角形全等，以及常用的輔助線方法，對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積=對(duì)角線積的一半等知識(shí)．