Question

已知拋物線y=-x²+（m-4）x+2m+4與x軸相交于A（x₁，0），B（x₂，0）與y軸交于點(diǎn)C，且x₁=-2x₂（x₁＜x₂），點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為D．
（1）確定A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過B，C，D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若y=3與（2）小題中所求拋物線交于M，N，以MN為一邊，拋物線上任一點(diǎn)P（x，y）為頂點(diǎn)作為平行四邊形，若平行四邊形面積為S，寫出S與P點(diǎn)縱坐標(biāo)y的函數(shù)關(guān)系式；
（4）當(dāng)

1

3

＜x＜4時(shí)，（3）小題中平行四邊形的面積是否有最大值？若有，請求出；若無，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0，可得關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得x₁+x₂以及x₁x₂的值，聯(lián)立x₁=-2x₂即可求出A、B的坐標(biāo)，而C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2m+4），已知了m的值，也就得到了C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）由于A、D關(guān)于y軸對稱，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；然后可根據(jù)B、C、D的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）易求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1），M（1，3），N（5，3），此題應(yīng)分兩種情況：
①當(dāng)-1≤y≤0時(shí)，那么點(diǎn)P到直線MN的距離為3+（-y）即3+|y|，而MN的長為4，則平行四邊形的面積S=4（3+|y|）；
②當(dāng)y＞0時(shí)，點(diǎn)P到直線MN的距離為|3-y|，解法同①．
（4）首先根據(jù)自變量的取值范圍確定S、y的關(guān)系式，然后根據(jù)拋物線的解析式，用x替換掉y，即可得到關(guān)于S、x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值．

解答：解：（1）由題意得

x1+x2=m-4 x1•x2=-(2m+4) x1=-2x2

，
解得m=7或m=2，
當(dāng)m=7時(shí)，x₁=-6，x₂=3，x₁+x₂=-3≠3，
故m=7不合題意，舍去；
當(dāng)m=2時(shí)，x₁=-4，x₂=2；
即：A（-4，0），B（2，0），C（0，8）．

（2）D（4，0）；
設(shè)過三點(diǎn)的拋物線為y=ax²+bx+c，
則有

4a+2b+c=0 16a+4b+c=0 c=8

，
解得

a=1 b=-6 c=8

，
拋物線是y=x²-6x+8．

（3）∵拋物線y=x²-6x+8與直線y=3相交，
∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4，
而拋物線頂點(diǎn)為（3，-1），
當(dāng)y＞0時(shí)，S=4|y-3|；
當(dāng)-1≤y≤0時(shí)，S=12+4|y|．

（4）使以MN為一邊，P（x，y）為頂點(diǎn)，且（

1

3

＜x＜4）的平行四邊形面積最大，只要點(diǎn)P到MN的距離最大，所以滿足條件的平行四邊形的面積有最大值是16．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)解析式的確定、平行四邊形面積的計(jì)算方法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用等知識(shí)，難度較大．