Question

如圖①，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（2，-3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），直線y=x+1與拋物線交于A點(diǎn)和B點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求△ABM的面積；
（3）如圖②，點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鳎?br />①過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，交BM于點(diǎn)Q，連接AQ，AP，當(dāng)△APQ的面積最大時(shí)，求P的坐標(biāo)．
②是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先得出D點(diǎn)坐標(biāo)，把y=x+1代入y=（x-2）²-3，得出x的值，再利用S_△ABM=S_△AMN+S_△BMN求出即可；
（3）①首先求出MB所在直線的解析式為：y=3x-9，進(jìn)而得出△NQP∽△NBD，即可表示出QP的長(zhǎng)，再表示出CP的長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)最值求法得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
②分三種情況討論：Ⅰ．當(dāng)∠BAP=90°，得出△DAP∽△DHB，Ⅱ．當(dāng)∠APB=90°時(shí)，得出△AOP∽△PHB，Ⅲ．當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，得出△AOD∽△PBD分別求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（2，-3），
∴設(shè)y=a（x-2）²-3，將點(diǎn)A（0，1）代入得，
1=4a-3，
∴a=1
∴y=（x-2）²-3；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，0=x+1，
∴x=-1，∴D（-1，0）
把y=x+1代入y=（x-2）²-3，得

x+1=(x-2)2-3

，
解得：x₁=0，x₂=5，
如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥MN于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥MN與點(diǎn)E，
當(dāng)x=2時(shí)，y=x+1=3，
∴MN=6，
∴S_△ABM=S_△AMN+S_△BMN=

MN×AF

2

+

MN×BE

2

=

1

2

×6×5=15；

（3）①，
∵B（5，6），A（-1，0）
∴BD=6

2

設(shè)MB所在直線的解析式為y=kx+b，
把點(diǎn)B，點(diǎn)M則：

6=5k+b -3=2k+b

∴

k=3 b=-9

，
∴MB所在直線的解析式為：y=3x-9，
∴N（3，0），
∴ND=3-（-1）=4
設(shè)P（x，0），則PN=3-x
∵PQ∥AB，
∴△NQP∽△NBD，
∴

PQ

BD

=

PN

DN

，
∴

PQ

6 2

=

3-x

4

，
∴PQ=

3 2 (3-x)

2

，
如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，
∵直線y=x+1交x軸于點(diǎn)（-1，0），
∴∠ADO=45°，
∴Rt△PCD為等腰Rt△，
CP=

2

2

DP=

2

2

(x+1)，
∴△APQ的面積=

1

2

×

3 2 (3-x)

2

×

2

2

（x+1）=-

3

4

（x²-2x-3）=-

3

4

（x-1）²+3，
∴x=1時(shí)，S的值最大，
此時(shí)點(diǎn)P（1，0）；
②分三種情況討論：
Ⅰ．當(dāng)∠BAP=90°，如圖3，
∵∠DAP=∠HDB，∠BHD=∠DAP，
∴△DAP∽△DHB，
∴

DP

DB

=

DA

DH

，
∴

DP

6 2

=

2

6

，
∴解得：DP=2，
∴OP=1，
∴P₁（1，0），

Ⅱ．當(dāng)∠APB=90°時(shí)，如圖4，
∵∠APO+∠BPH=90°，∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠BPH，
∵∠AOP=∠PHB=90°，
∴△AOP∽△PHB，
∴

AO

PH

=

PO

BH

，
∴

1

5-OP

=

OP

6

，
解得：OP=2或3，
∴P₂（2，0），P₃（3，0），

Ⅲ．當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，如圖5，
∵∠BDP=∠ODA，∠DBP=∠AOD=90°，
∴△AOD∽△PBD，
∴

OD

BD

=

AD

PD

，
∴

1

6 2

=

2

PD

，
解得：PD=12，
∴OP=11，
P₄（11，0），
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0），（2，0），（3，0），（11，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積和二次函數(shù)最值問(wèn)題，利用分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．