Question

如圖，直徑為13的⊙O′經(jīng)過原點(diǎn)O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、OB（OA＞OB）的長(zhǎng)分別是方程x²+kx+60=0的兩根．
（1）求線段OA、OB的長(zhǎng)；
（2）已知點(diǎn)C在劣弧OA上，連接BC交OA于D，當(dāng)OC²=CD•CB時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）問的條件下，在⊙O′上是否存在點(diǎn)P，使S_△POD=S_△ABD？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）連接AB，∵∠BOA=90°，
∴AB為直徑，根與系數(shù)關(guān)系得OA+OB=-k，OA•OB=60；
根據(jù)勾股定理，得OA²+OB²=169，
即（OA+OB）²-2OA•OB=169，
解得k²=289，∴k=±17（正值舍去）．
則有方程x²-17x+60=0，x=12，或5．
又OA＞OB，
∴OA=12，OB=5．

（2）若OC²=CD•CB，則△OCB∽△DCO，
∴∠COD=∠CBO，
又∵∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
所以點(diǎn)C是弧OA的中點(diǎn)．
連接O′C交OA于點(diǎn)E，根據(jù)垂徑定理的推論，得O′E⊥OA，
根據(jù)垂徑定理，得OE=6，
根據(jù)勾股定理，得O′E=

O′O2-OE2

=

6.52-62

=2.5，
∴CE=6.5-2.5=4，
即C（6，-4）．

（3）設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，
則

b=5 6k+b=-4

解得：

k=- 3 2 b=5

，
則直線BC的解析式是y=-

3

2

x+5，
令y=0，解得：x=

10

3

，
則OD=

10

3

，AD=12-

10

3

=

26

3

，
∴S_△ABD=

1

2

×5×

26

3

=

65

3

．
若S_△ABD=S_△OBD，P到x軸的距離是h，
則

1

2

×

10

3

h=

65

3

，解得：h=13．
而⊙O′的直徑是13，因而P不能在⊙O′上，
故P不存在．