Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C在x軸上，點(diǎn)D、E在y軸上，OA=OD=2，OC=OE=4，B為線段OA的中點(diǎn)，直線AD與經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線交于F、G兩點(diǎn)，與其對稱軸交于M．

（1）求經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P為線段FG上一個動點(diǎn)（與F、G不重合），當(dāng)P在什么位置時，以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P為直線FG上一個動點(diǎn)，Q為拋物線上任一點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為N，探究以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形？若能，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2+3x+4；(2) P坐標(biāo)是（2，4）；(3)見解析.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)等腰三角形的定義，分OP=OC，PC=OC，OP=PC三種情況即可求得P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)P為（x，x+2）Q（x，-x2+3x+4），則PQ=-x2+2x+2，根據(jù)PQNM是平行四邊形，則PQ=MN，即可求得PM的長，判斷是否成立，從而確定P的坐標(biāo)．

（1）∵B（-1，0）E（0，4）C（4，0）

設(shè)解析式是y=ax2+bx+c

可得，解得

∴y=-x2+3x+4；

（2）∵點(diǎn)A坐標(biāo)是（-2，0），點(diǎn)D坐標(biāo)是（0，2）

直線AD的解析式是y=x+2，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)是（x，x+2），

當(dāng)OP=OC時，x2+（x+2）2=16解得x＝1±（x＝1不符合，舍去）此時點(diǎn)P（1+，3+），

當(dāng)PC=OC時，（x+2）2+（4-x）2=16方程無解，

當(dāng)PO=PC時，點(diǎn)P在OC的中垂線上，

∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)是2，得點(diǎn)P坐標(biāo)是（2，4），

∴當(dāng)△POC是等腰三角形時，點(diǎn)P坐標(biāo)是（1+，3+）或（2，4）；

（3） ，，，