Question

已知點(diǎn)A(1，c)和點(diǎn)B (3，d )是直線y＝k₁x＋b與雙曲線y＝（k₂＞0）的交
點(diǎn)．
（1）過點(diǎn)A作AM⊥x軸，垂足為M，連結(jié)BM．若AM＝BM，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P在線段AB上，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，并交雙曲線y＝（k₂＞0）于點(diǎn)N．當(dāng)  取最大值時，若PN＝ ，求此時雙曲線的解析式．

Answer 1

（1）(3，)（2）y＝

（1）解：∵點(diǎn)A(1，c)和點(diǎn)B (3，d )在雙曲線y＝（k₂＞0）上，

∴ c＝k₂＝3d 。
∵ k₂＞0， ∴ c＞0，d＞0。
∴A(1，c)和點(diǎn)B (3，d )都在第一象限。
∴ AM＝3d。
過點(diǎn)B作BT⊥AM，垂足為T。
∴ BT＝2，TM＝d。
∵ AM＝BM，∴ BM＝3d。
在Rt△BTM中，TM ²＋BT²＝BM²，即 d²＋4＝9d²，∴ d＝。
∴點(diǎn)B(3，)。
（2）∵ 點(diǎn)A(1，c)、B(3，d)是直線y＝k₁x＋b與雙曲線y＝（k₂＞0）的交點(diǎn)，

∴c＝k_2,，3d＝k₂，c＝k₁＋b，d＝3k₁＋b。
∴k₁＝－k₂，b＝k₂。
∵ A(1，c)和點(diǎn)B (3，d )都在第一象限，
∴ 點(diǎn)P在第一象限。設(shè)P（x，k₁x＋b），
∴＝ ＝x²＋x＝－x²＋x。
＝
∵當(dāng)x＝1，3時，＝1，又∵當(dāng)x＝2時， 的最大值是。
∴1≤≤.�！� PE≥NE。
∴＝－1＝。
∴當(dāng)x＝2時，的最大值是。
由題意，此時PN＝，∴ NE＝�！� 點(diǎn)N(2，) 。 ∴ k₂＝3。
∴此時雙曲線的解析式為y＝。
（1）過點(diǎn)B作BT⊥AM，由點(diǎn)A（1，c）和點(diǎn)B（3，d）都在雙曲線y＝（k₂＞0）上，得到c=3d，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3d），在Rt△BTM中應(yīng)用勾股定理即可計算出d的值，即可確定B點(diǎn)坐標(biāo)。
（2）P（x，k₁x＋b），求出關(guān)于x的二次函數(shù)，應(yīng)用二次函數(shù)的最值即可求得的最大值，此時根據(jù)PN＝求得NE＝，從而得到N(2，)，代入y＝即可求得k₂＝3。因此求得反比例函數(shù)的解析式為y＝