Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到Rt△ADE的位置，點(diǎn)E在斜邊AB上，連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，求證：AC=BC；
（2）若∠DAF=∠DBA，
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，判斷線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②當(dāng)點(diǎn)F在線段CA上時(shí)，設(shè)BE=x，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示線段AF．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由旋轉(zhuǎn)得，∠BAC=∠BAD，

∵DF⊥AC，

∴∠CAD=90°，

∴∠BAC=∠BAD=45°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，

∴AC=CB．

（2）

解：①由旋轉(zhuǎn)得，AD=AB，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠DAF=∠ABD，

∴∠DAF=∠ADB，

∴AF∥BB，

∴∠BAC=∠ABD，

∵∠ABD=∠FAD

由旋轉(zhuǎn)得，∠BAC=∠BAD，

∴∠FAD=∠BAC=∠BAD= ×180°=60°，

由旋轉(zhuǎn)得，AB=AD，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，

在△AFD和△BED中，

，

∴△AFD≌△BED，

∴AF=BE，

②如圖，

由旋轉(zhuǎn)得，∠BAC=∠BAD，

∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD，

由旋轉(zhuǎn)得，AD=AB，

∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，

∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，

∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°，

∴∠BAD=36°，

設(shè)BD=x，作BG平分∠ABD，

∴∠BAD=∠GBD=36°

∴AG=BG=BC=x，

∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD，

∵∠BDG=∠ADB，

∴△BDG∽△ADB，

∴ ．

∴ ，

∴ ，

∵∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，

∴△AFD∽△BED，

∴ ，

∴AF= x．

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)得到∠BAC=∠BAD，而DF⊥AC，從而得出∠ABC=45°，最后判斷出△ABC是等腰直角三角形；
　　　�。�2）①由旋轉(zhuǎn)得到∠BAC=∠BAD，再根據(jù)∠DAF=∠DBA，從而求出∠FAD=∠BAC=∠BAD=60°，最后判定△AFD≌△BED，即可；②根據(jù)題意畫(huà)出圖形，先求出角度，得到△ABD是頂角為36°的等腰三角形，再用相似求出， ，最后判斷出△AFD∽△BED，代入即可．此題是幾何變換綜合題，主要考查了，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出頂角為36°的等腰三角形的腰與底的比值，也是本題的難點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．