【題目】如圖,在△ABC中,點O是AC邊上的一個動點,過點O作直線MN∥BC,設MN交∠BCA的角平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F.
(1)求證:EO=FO;
(2)當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形?并證明你的結論.
(3)當點O運動到何處,且△ABC滿足什么條件時,四邊形AECF是正方形?并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)運動到AC的中點時;(3)運動到AC的中點時,且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時
【解析】試題解析:(1)根據(jù)平行線性質和角平分線性質及,由平行線所夾的內(nèi)錯角相等易證;
(2)當點O運動到AC的中點時,四邊形AECF是矩形,根據(jù)矩形的判定方法,即一個角是直角的平行四邊形是矩形可證.
(3))由OE=OF,OA=OC可判斷四邊形AECF為平行四邊形,再證明∠ECF=90°,則可判斷四邊形AECF為矩形,根據(jù)正方形的判定方法,當∠2=45°時,四邊形AECF為正方形,于是可得∠ACB=90°.
試題解析:(1)證明:∵CE平分∠ACB,
∴∠1=∠2,
又∵MN∥BC,
∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,
∴EO=CO,
同理,F(xiàn)O=CO,
∴EO=FO;
(2)解:當點O運動到AC的中點時,四邊形AECF是矩形.
理由如下:
∵EO=FO,點O是AC的中點.
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵CF平分∠BCA的外角,
∴∠4=∠5,
又∵∠1=∠2,
∴∠2+∠4=×180°=90°.
即∠ECF=90度,
∴四邊形AECF是矩形.
(3)∵OE=OF,OA=OC,
∴四邊形AECF為平行四邊形,
∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACB的外角,
∴∠ECF=90°,
∴四邊形AECF為矩形,
當∠2=45°時,四邊形AECF為正方形,
此時∠ACB=90°,
即當點O是AC的中點,△ABC中∠ACB=90°時,四邊形AECF是正方形.
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【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點A(-2,0),與y軸交于點B.若△AOB的面積為8,求一次函數(shù)的表達式.
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【題目】如圖,在矩形 ABCD中, AB16 , BC18 ,點 E在邊 AB 上,點 F 是邊 BC 上不與點 B、C 重合的一個動點,把△EBF沿 EF 折疊,點B落在點 B' 處.
(I)若 AE0 時,且點 B' 恰好落在 AD 邊上,請直接寫出 DB' 的長;
(II)若 AE3 時, 且△CDB' 是以 DB' 為腰的等腰三角形,試求 DB' 的長;
(III)若AE8時,且點 B' 落在矩形內(nèi)部(不含邊長),試直接寫出 DB' 的取值范圍.
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【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△ABC繞點A順時針旋轉到Rt△ADE的位置,點E在斜邊AB上,連結BD,過點D作DF⊥AC于點F.
(1)如圖1,若點F與點A重合,求證:AC=BC;
(2)若∠DAF=∠DBA,
①如圖2,當點F在線段CA的延長線上時,判斷線段AF與線段BE的數(shù)量關系,并說明理由;
②當點F在線段CA上時,設BE=x,請用含x的代數(shù)式表示線段AF.
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【題目】如圖是甲、乙兩車在某時段速度隨時間變化的圖象,下列結論錯誤的是( )
A.乙前4秒行駛的路程為48米
B.在0到8秒內(nèi)甲的速度每秒增加4米/秒
C.兩車到第3秒時行駛的路程相等
D.在4至8秒內(nèi)甲的速度都大于乙的速度
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【題目】如圖,已知:AD平分∠CAE,AD∥BC.
(1)求證:△ABC是等腰三角形.
(2)當∠CAE等于多少度時△ABC是等邊三角形?證明你的結論.
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【題目】如圖,∠1+∠2=180°,∠B=∠D.說明AB∥CD的理由.
補全下面的說理過程,并在括號內(nèi)填上適當?shù)睦碛?/span>
解:∵∠1+∠2=180°(已知)
∠2=∠AHB( )
∴ (等量代換)
∴DE∥BF( )
∴∠D=∠ ( )
∵∠ =∠B(等量代換)
∴AB∥CD( )
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【題目】如圖所示,B,C兩點把線段AD分成4:5:7的三部分,E是線段AD的中點,CD=14厘米.
(1)求EC的長.
(2)求AB:BE的值.
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