Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，在AB邊上取動(dòng)點(diǎn)P，連接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點(diǎn)E，設(shè)AP=x，BE=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若△APD是等腰三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)E能否與C點(diǎn)重合，若存在，求出相應(yīng)的AP的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)求解，過(guò)D作AB的垂線DH，垂足為H，那么根據(jù)AB、CD的長(zhǎng)，就能表示出AH、BH、PH的長(zhǎng)，然后通過(guò)證三角形DPH和PBE相似，得出關(guān)于DH、PH、PB、BE的比例關(guān)系式，由于BC=DH，因此可得出關(guān)于x、y函數(shù)關(guān)系式．
（2）可分三種情況進(jìn)行討論；
①當(dāng)AP=AD時(shí)，AD可在直角三角形ADH中，根據(jù)AH的長(zhǎng)和BC的長(zhǎng)用勾股定理得出．那么此時(shí)就得出了AP的值即x的值，然后代入（1）的函數(shù)式即可得出BE的長(zhǎng)．
②當(dāng)AD=PD時(shí)，可根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)先求出AH的值，那么AH=PH即可得出x的值，然后代入（1）的函數(shù)式求出BE．
③當(dāng)AP=PD時(shí)，可在直角三角形DPH中用含x的式子表示出PD²，然后根據(jù)AP²=PD²，求出x的值，然后根據(jù)（1）的函數(shù)式求出BE的長(zhǎng)．
（3）當(dāng)E與C重合時(shí)，BE=AH，然后將（1）中得出的AH的值，代入（1）的函數(shù)式中，可得出一個(gè)關(guān)于x的二元一次方程，那么看看這個(gè)方程是否有解即可判斷出是否存在E與C重合的情況．
解答： 解：（1）過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AB于H，
則四邊形DHBC為矩形，
∴HB=CD=6，
∴AH=AB-CD=2．
∵AP=x，
∴PH=x-2，
∵∠DPH+∠PDH=90°，∠DPH+∠BPE=90°，
∴∠PDH=∠BPE．
∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴=，
∴=，
整理得：y=（x-2）（8-x）=-x²+x-4．

（2）直角三角形AHD中，AH=AB-CD=2，DH=BC=4，根據(jù)勾股定理可得：AD=2 5，
要使△APD是等腰三角形，則
情況①：當(dāng)AP=AD=2，即x=2時(shí)：
BE=y=-×（2）²+×2-4=5-9
情況②：當(dāng)AD=PD時(shí)，則AH=PH，
∵AH=2，PH=x-2，
∴2=x-2，
解得x=4，符合x(chóng)的取值范圍，
那么：BE=y=-×+×5-4=2；
情況③：當(dāng)AP=PD時(shí)，則AP²=PD²，
∴x²=4²+（x-2）²，
解得x=5，符合x(chóng)的取值范圍，
那么：BE=y=-×5²+×5-4=2

（3）若存在點(diǎn)E能與C點(diǎn)重合，
則y=-x²+x-4=4，
整理得：x²-10x+32=0
∵△=（-10）²-4×32＜0，
∴原方程無(wú)解，
∴不存在點(diǎn)E與C點(diǎn)重合．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)得出二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．