Question

已知直線y=kx-3與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點C，拋物線y=-

3

4

x²+mx+n經(jīng)過點A和點C，動點P在x軸上以每秒1個長度單位的速度由拋物線與x軸的另一個交點B向點A運動，點Q由點C沿線段CA向點A運動且速度是點P運動速度的2倍．

（1）求此拋物線的解析式和直線的解析式；
（2）如果點P和點Q同時出發(fā)，運動時間為t（秒），試問當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△AOC相似；
（3）在直線CA上方的拋物線上是否存在一點D，使得△ACD的面積最大？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接將（4，0）代入一次函數(shù)解析式求出k即可，進而得出C點坐標，再利用拋物線y=-

3

4

x²+mx+n經(jīng)過點A和點C，求出即可；
（2）分別利用①若∠Q₁P₁A=90°，則P₁Q₁∥CO，②若∠Q₂P₂A=90°，求出t的值即可；
（3）過D作DF⊥x軸，垂足為E，交AC于點F，則S_△ADF=DF•AE，S_△CDF=DF•EO，由S_△ACD=S_△ADF+S_△CDF求出關于x的函數(shù)關系式，進而得出答案．

解答：解：（1）∵直線y=kx-3與x軸交于點A（4，0），
∴0=4k-3，
解得：k=

3

4

，
∴直線解析式為y=

3

4

x-3，
由直線y=

3

4

x-3與y軸交于點C，可知C（0，-3），
∴-

3

4

×4²+4m-3=0，
解得m=

15

4

，
∴拋物線的解析式為y=-

3

4

x²+

15

4

x-3；

（2）對于拋物線y=-

3

4

x²+

15

4

x-3，
令y=0，則0=-

3

4

x²+

15

4

x-3，
解得：x₁=1，x₂=4，
∴B（1，0），
∴AB=3，AO=4，CO=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t，
①若∠Q₁P₁A=90°，則P₁Q₁∥CO，
∴△AP₁Q₁∽△AOC，
∴

AP1

AO

=

AQ1

AC

，
∴

3-t

4

=

5-2t

5

，
解得：t=

5

3

；
②若∠Q₂P₂A=90°，∵∠P₂AQ₂=∠OAC，
∴△AP₂Q₂∽△ACO，
∴

AP2

AC

=

AQ2

AO

，
∴

3-t

5

=

5-2t

4

，
解得：t=

13

6

；
綜上：當t的值為

5

3

或

13

6

時，以P、Q、A為頂點的三角形與△AOC相似；

（3）存在，
如備用圖：過D作DF⊥x軸，垂足為E，交AC于點F，
∴S_△ADF=

1

2

DF•AE，S_△CDF=

1

2

DF•EO，
∴S_△ACD=S_△ADF+S_△CDF=

1

2

DF•（AE+EO）=

1

2

×4（DE+EF）=2×（-

3

4

x²+

15

4

x-3-

3

4

x-3）=-

3

2

x²+6x，
∴S_△ACD=-

3

2

（x-2）²+6（0＜x＜4），
又0＜2＜4且二次項系數(shù)-

3

2

＜0，
∴當x=2時，S_△ACD的面積最大，
而當X=2時，y=

3

2

，
∴滿足條件的D點坐標為D（2，

3

2

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應用以及三角形面積求法和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．