Question

【題目】己知：在△ABC中，∠CAB＝2α，且0°＜α＜30°，AP平分∠CAB．

（1）如圖，若α＝21°，∠ABC＝32°，且AP交BC于點(diǎn)P，試探究線段AB、AC與PB之間的數(shù)量關(guān)系，并對你的結(jié)論加以證明；

（2）如圖，若∠ABC＝60°－α，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，且使∠CBP＝30°，直接寫出∠APC的度數(shù)________（用含α的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）（1）AB-AC=PB，證明見解析；（2）120°+α.

【解析】

（1）在AB上截取AD，使AD=AC．連PD，證明△ACP≌△ADP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證明PB=DB，證明結(jié)論；
（2）延長AC至M，使AM=AB，連接PM，BM，證明△AMP≌△ABP，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證明．

（1）AB-AC=PB，

在AB上截取AD，使AD=AC．連PD，

∵AP平分∠CAB，

∴∠CAP=∠BAP，

在△ACP和△ADP中，

∴△ACP≌△ADP（SAS），

∴∠C=∠ADP．

∵△ABC中，∠CAB=42°，∠ABC=32°，

∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-42°-32°=106°．

∴∠ADP=106°．

∴∠BDP=180°-∠ADP=180°-106°=74°，

∠BPD=∠ADP-∠ABC=106°-32°=74°．

∴∠BDP=∠BPD．

∴PB=DB，

∴AB-AC=AB-AD=DB=PB；

(2)如圖2，延長AC到M使AM=AB, 120°+α.