Question

已知a是不為1的有理數(shù)，我們把

1

1-a

稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是

1

1-2

=-1．
現(xiàn)已知a₁=

1

2

，a₂是a₁的差倒數(shù)，a₃是a₂的差倒數(shù)，a₄是a₃的差倒數(shù)，
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，請猜想并寫出a₂₀₁₂•a₂₀₁₃•a₂₀₁₄的值；
（3）計算：a₁+a₂₊a3

+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃．

Answer 1

考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類,倒數(shù)

專題：新定義,規(guī)律型

分析：（1）由題意得：a₂=

1

1- 1 2

=2，a₃=

1

1-2

=-1，a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；
（2）從（1）的計算結(jié)果可以看出，從a₁開始，每三個數(shù)一循環(huán)，而2012÷3=670余2，則a₂₀₁₂=a₂=2，a₂₀₁₃=a₃=-1，a₂₀₁₄=a₁=

1

2

，然后計算a₂₀₁₂•a₂₀₁₃•a₂₀₁₄的值；
（3）由于a₁•a₂•a₃=a₄•a₅•a₆=…a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=a₂₀₁₁•a₂₀₁₂•a₂₀₁₃=-1，把a(bǔ)₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂•a₂₀₁₃分成（a₁•a₂•a₃）•（a₄•a₅•a₆）…（a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀）•（a₂₀₁₁•a₂₀₁₂•a₂₀₁₃），然后代值計算即可．

解答：解：（1）a₁=

1

2

，a₂=

1

1- 1 2

=2，a₃=

1

1-2

=-1，a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；
（2）∵2012÷3=670余2，∴a₂₀₁₂=a₂=2，a₂₀₁₃=a₃=-1，a₂₀₁₄=a₁=

1

2

，∴a₂₀₁₂•a₂₀₁₃•a₂₀₁₄=2×（-1）×

1

2

=-1；
（3）∵a₁+a₂+a₃=a₄+a₅+a₆=…=a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀=a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃=

3

2

，
∴a₁+a₂+a₃…a₂₀₁₀+a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）…（a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀）+（a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃）=

3

2

×671=1006

1

2

．

點評：此類問題考查了數(shù)字類的變化規(guī)律，解決的關(guān)鍵是要嚴(yán)格根據(jù)定義進(jìn)行解答，同時注意分析循環(huán)的規(guī)律．