Question

如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm．某一時刻，動點M從A點出發(fā)，以1cm/s的速度沿著矩形的邊逆時針勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)，以2cm/s的速度沿著矩形的邊逆時針勻速運動．N、M第一次重合時停止運動．設(shè)運動時間為t秒，問：
（1）當t=

 

時，N、M第一次重合并停止運動．
（2）當N在AD上，M在AB上，求△AMN的面積等于矩形ABCD面積的

1

9

時的t值．
（3）求出AC⊥MN時的t值．
（4）是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，直接寫出所有符合條件的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)運動時間為t秒，則N運動的路程是2tcm，M運動的路程是tcm，根據(jù)當N、M第一次重合時，得出2t-t=6，再求出t的值即可，
（2）當N在AD上，M在AB上時，根據(jù)△AMN的面積等于矩形ABCD面積的

1

9

，得出

1

6

（6-2t）t=

1

9

×6×3，再解方程即可，
（3）當AC⊥MN時，可證出△MNA∽△ACD，得出

AM

AN

=

DA

DC

，

t

6-2t

=

6

3

，再解方程即可，
（4）當N在AD上，M在AB上時，若根據(jù)（3）可得t=

12

5

，若△NMA∽△ACD，則

NA

AD

=

MA

CD

，

6-2t

6

=

t

3

，當N在AB上，M在BC上時，若△BMN∽△DAC，則

BN

DC

=

BM

DA

，

9-2t

3

=

9-t

6

，再分別求出t的值即可．

解答：解：（1）∵動點M從A點出發(fā)，以1cm/s的速度沿著矩形的邊逆時針勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)，以2cm/s的速度沿著矩形的邊逆時針勻速運動，
∴設(shè)運動時間為t秒，則N運動的路程是2tcm，M運動的路程是tcm，
∴當N、M第一次重合時，2t-t=6，
t=6，
故答案為：6；

（2）當N在AD上，M在AB上時，AN=（6-2t）cm，AM=tcm，
則

1

6

（6-2t）t=

1

9

×6×3，
解得：t₁=1，t₂=2，
當N在AD上，M在AB上，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的

1

9

時t=1或2；

（3）如圖1，當AC⊥MN時，
則∠MNA=∠ACD，
∵∠CDA=∠MAN，
∴△MNA∽△ACD，
∴

AM

AN

=

DA

DC

，
∴

t

6-2t

=

6

3

，
t=

12

5

；

（4）當N在AD上，M在AB上時，若根據(jù)（3）可得若△MNA∽△ACD，t=

12

5

，
如圖2，若△NMA∽△ACD，則

NA

AD

=

MA

CD

，

6-2t

6

=

t

3

，
t=

3

2

，
如圖3，當N在AB上，M在BC上時，若△BMN∽△DAC，則

BN

DC

=

BM

DA

，

9-2t

3

=

9-t

6

，
t=

9

2

．
答：存在時刻t使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似，所有符合條件的t是

3

2

或

12

5

或

9

2

．

點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是綜合運用有關(guān)性質(zhì)列出關(guān)于t的方程，注意分三種情況討論．