Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-1，0）、B（3，0），過(guò)頂點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．
（1）直接填寫(xiě)：a=

 

，b=

 

 

，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)D，使得△BCD是以BC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），PQ⊥BC于點(diǎn)Q，當(dāng)△PCQ與△BCH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）把A（-1，0）、B（3，0）代入拋物線y=ax²+bx+3，即可得出a，b的值，利用拋物線的解析式可得出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，
（2）假設(shè)在y軸上存在滿足條件的點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E．由∠CDB=90°可得△CED∽△DOB，利用CE：DE=OD：OB，設(shè)D（0，c）即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，
（3）分兩種情況）①若點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)，只能是△PCQ∽△CBH，②若點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)，只能是△PCQ∽△BCH，分別求解即可．

解答：解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）代入拋物線y=ax²+bx+3，
得

0=a-b+3 0=9a+3b+3

，解得

a=-1 b=2

∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4），
故答案為：a=-1，b=2，（1，4）
（2）如圖1，假設(shè)在y軸上存在滿足條件的點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E．

∵∠CDB=90°得△CED∽△DOB，
∴CE：DE=OD：OB．
設(shè)D（0，c），則

1

4-c

=

c

3

．化簡(jiǎn)得c²-4c+3=0，解得c₁=3，c₂=1．
∴在y軸上存在點(diǎn)D（0，3）或（0，1），使△BCD是以BC為斜邊的直角三角形．
（3）①如圖2，若點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)，只能是△PCQ∽△CBH，得∠QCP=∠CBH．延長(zhǎng)CP交x軸于M，

∴BM=CM，
∴BM²=CM²．
設(shè)OM=m，則（m+3）²=4²+（m+1）²，
∴m=2，即M（-2，0）．
則直線CM的解析式為y=

4

3

x+

8

3

，聯(lián)立方程組

y= 4 3 x+ 8 3 y=-x2+2x+3

解得P（-

1

3

，

20

9

），
②如圖3，若點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)，只能是△PCQ∽△BCH，得∠PCQ=∠BCH．過(guò)B作CB的垂線交PC于點(diǎn)F，作FN⊥x軸于點(diǎn)N，

∵CH=4，BH=2，
∴BC=2

5

，
∵△CFB∽△CBH，
∴BC：HC=BF：BH，即2

5

：4=BF：2，解得BF=

5

，
又∵△FNB∽△BHC，
∴BN：CH=BF：CB，即BN：4=

5

：2

5

，
得BN=2，同理得FN=1，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5，1），則直線CF的解析式為y=-

3

4

x+

19

4

，
聯(lián)立方程組

y=- 3 4 x+ 19 4 y=-x2+2x+3

可得P（

7

4

，

55

16

）
所以滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

1

3

，

20

9

），（

7

4

，

55

16

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)求解．