Question

【題目】某同學(xué)在研究二次函數(shù)及其圖像性質(zhì)的問題時，發(fā)現(xiàn)了兩個重要結(jié)論：

①拋物線 y = ax 2 2x + 3（a ≠0) ，不論 a 為何值時，它的頂點(diǎn)都在某條直線上；

②拋物線 y = ax 2 2x + 3（a ≠0)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加得到A點(diǎn)，若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加，得到B點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)一定在拋物線y = ax 2 2x + 3上．

（1）請你幫忙求出拋物線 y = ax 2 2x + 3的頂點(diǎn)所在直線的解析式，并證明結(jié)論②是正確的；

（2）問題（1）中的直線上有一個點(diǎn)不是該拋物線的頂點(diǎn)，你能找出它來嗎，并說明理由；

（3）你能把結(jié)論①或②（選擇其中之一）推廣到一般情況嗎，請用數(shù)學(xué)語言表述你的成 果，并給予嚴(yán)格的證明．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）（0,3），理由見解析；（3）①的推廣：若b、c是常數(shù)，對任意的實數(shù)，拋物線的頂點(diǎn)在直線上；②的推廣：拋物線，將其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加或減少，縱坐標(biāo)增加，所得到的兩個點(diǎn)一定仍在拋物線上；證明見解析．

【解析】

（1）首先將拋物線y=ax2+2x+3轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，寫出用a表示的頂點(diǎn)坐標(biāo)，消去a寫出y關(guān)于x的表達(dá)式；

（2）觀察（1）中的頂點(diǎn)坐標(biāo)，因為，即橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，即可求得結(jié)果；

（3）首先寫出拋物線的一般形式，再轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加

代入一般式，驗證縱坐標(biāo)也增加．

解：（1）方法一：

當(dāng)時，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，

當(dāng)時，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，

設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在直線上，

將(1,2)，(1,4)代入，得：

，解得：，

所以，

即拋物線的頂點(diǎn)在直線；

方法二：

易知的頂點(diǎn)是，

即，，

消去a得：，

即拋物線的頂點(diǎn)在直線；

證明：拋物線的頂點(diǎn)是，

由題意得：A(0,3)，B(,3)，

當(dāng)x=0時，y=3，則點(diǎn)A在拋物線上，

當(dāng)x=時，，則點(diǎn)B拋物線上，

（2）直線上有一點(diǎn)(0,3)不是該拋物線的頂點(diǎn)，

拋物線的頂點(diǎn)是，

當(dāng)時，橫坐標(biāo)，即(0,3)不是拋物線的頂點(diǎn)；

（3）①的推廣

若b、c是常數(shù)，對任意的實數(shù)，拋物線的頂點(diǎn)在直線上.

當(dāng)時，則的頂點(diǎn)為，

當(dāng)時，則的頂點(diǎn)為，

將它們代入得：

，

解得：

則直線為，

事實上，時，

，

即拋物線頂點(diǎn)在直線上；

②的推廣

猜想：拋物線y = ax 2 2x + 3（a ≠0) ，將其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加或減少，縱坐標(biāo)增加，所得到的兩個點(diǎn)一定仍在拋物線上.

證明：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

將其橫坐標(biāo)增加或減少，縱坐標(biāo)增加，得到

，

將代入得

=

=

∴點(diǎn)A在拋物線上，同理可證點(diǎn)B也在拋物線上.