【題目】(12分)菱形ABCD中,兩條對角線AC,BD相交于點O,MON+BCD=180°,MON繞點O旋轉(zhuǎn),射線OM交邊BC于點E,射線ON交邊DC于點F,連接EF.

(1)如圖1,當(dāng)ABC=90°時,OEF的形狀是 ;

(2)如圖2,當(dāng)ABC=60°時,請判斷OEF的形狀,并說明理由;

(3)在(1)的條件下,將MON的頂點移到AO的中點O′處,MO′N繞點O′旋轉(zhuǎn),仍滿足MO′N+BCD=180°,射線O′M交直線BC于點E,射線O′N交直線CD于點F,當(dāng)BC=4,且時,直接寫出線段CE的長.

【答案】(1)OEF是等腰直角三角形;(2)OEF是等邊三角形;(3)

【解析】

試題分析:(1)先四邊形ABCD是正方形,得出EBO=FCO=45°,OB=OC,得出BOE=COF,進一步得到BOE≌△COF,從而得到結(jié)論

(2)過O點作OGBC于G,作OHCD于H,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得CA平分BCD,ABC+BCD=180°,求得OG=OH,BCD=120°,GOH=EOF=60°,進一步得出EOG=FOH,得出EOG≌△FOH,從而得到結(jié)論;

(3)過O點作OGBC于G,作OHCD于H,先求得四邊形O′GCH是正方形,從而求得GC=O′G=3,GO′H=90°,得到EO′G ≌△FO′H全等,得到O′EF是等腰直角三角形,根據(jù)已知求得等腰直角三角形的直角邊O′E的長,然后根據(jù)勾股定理求得EG,即可求得CE的長.

試題解析:(1)OEF是等腰直角三角形;如圖1,菱形ABCD中,ABC=90°,四邊形ABCD是正方形,OB=OC,BOC=90°,BCD=90°,EBO=FCO=45°,∴∠BOE+COE=90°,∵∠MON+BCD=180°,∴∠MON=90°,∴∠COF+COE=90°,∴∠BOE=COF,在BOE與COF中,∵∠BOE=COF,OB=OC,EBO=FCO∴△BOE≌△COF(ASA),OE=OF,∴△OEF是等腰直角三角形;

(2)OEF是等邊三角形;如圖2,過O點作OGBC于G,作OHCD于H,∴∠OGE=OGC=OHC=90°,四邊形ABCD是菱形,CA平分BCD,ABC+BCD=180°,OG=OH,BCD=180°﹣60°=120°,∵∠GOH+OGC+BCD+OHC=360°,∴∠GOH+BCD=180°,∴∠MON+BCD=180°,∴∠GOH=EOF=60°,∵∠GOH=GOF+FOH,EOF=GOF+EOG,∴∠EOG=FOH,在EOG與FOH中,∵∠EOG=FOH,OG=OH,EGO=FHO,∴△EOG≌△FOH(ASA),OE=OF,∴△OEF是等邊三角形;

(3)如圖3,菱形ABCD中,ABC=90°,四邊形ABCD是正方形,,過O點作O′GBC于G,作O′HCD于H,∴∠O′GC=O′HC=BCD=90°,四邊形O′GCH是矩形,O′GAB,O′HAD,,AB=BC=CD=AD=4,O′G=O′H=3,四邊形O′GCH是正方形,GC=O′G=3,GO′H=90°,∵∠MO′N+BCD=180°,∴∠EO′F=90°,∴∠EO′F=GO′H=90°,∵∠GO′H=GO′F+FO′H,EO′F=GO′F+EO′G,∴∠EO′G=FO′H,在EO′G與FO′H中,∵∠EOG=FOH,OG= OH,EG O=FH O,∴△EO′G≌△FO′H(ASA),O′E=O′F,∴△O′EF是等腰直角三角形;S正方形ABCD=4×4=16,,SO′EF=18,SO′EF=,O′E=6,在RTO′EG中,EG===,CE=CG+EG=.根據(jù)對稱性可知,當(dāng)M′ON′旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時,CE′=E′G﹣CG=

綜上可得,線段CE的長為

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