【題目】如圖1,△ABC的邊BC的中垂線DM交∠BAC的平分線AD于D, DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于F.連接DB、DC
(1)求證:△DBE≌△DFC.
(2)求證:AB+AC=2AE
(3)如圖2,若△ABC的邊BC的中垂線DM交∠BAC的外角平分線AD于D, DE⊥AB于點(diǎn)E,且AB>AC,寫出AE、BE、AC之間的等量關(guān)系。(不需證明,只需在圖2中作出輔助線、說明證哪兩個(gè)三角形全等即可)。
圖1 圖2
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)BE=AE+AC
【解析】試題分析:(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF,由全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AF,BE=CF,等量代換即可得到結(jié)論;
(3)如圖2,過D作DN⊥AC,垂足為N,連接DB、DC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到DN=DE,DB=DC,推出Rt△DBE≌Rt△DCN(HL),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CN,由于Rt△DEA≌Rt△DNA(HL),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AN=AE,等量代換即可得到結(jié)論.
(1)證明:∵DM垂直平分BC,
∴DB=DC,
∵∠1=∠2,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
在Rt△DEB與Rt△DFC中,
,
∴Rt△DEB≌Rt△DFC;
(2)∵∠AED=∠AFD=90°,
在Rt△ADE≌Rt△ADF中,
,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE=AF,
又∵Rt△DEB≌Rt△DFC,
∴BE=CF,
∴AB+AC=AE+BE+AF﹣CF=2AE;
(3)BE=AE+AC.
證明:如圖2,過D作DN⊥AC,垂足為N,連接DB、DC,
則DN=DE,DB=DC,
又∵DE⊥AB,DN⊥AC,
∴∠DEB=∠DNC=90°,
在Rt△DBE和Rt△DCN中,
,
∴Rt△DBE≌Rt△DCN(HL)
∴BE=CN,
在Rt△DEA和Rt△DNA中,
,
∴Rt△DEA≌Rt△DNA(HL),
∴AN=AE,
∴BE=AC+AN=AC+AE,
即BE=AE+AC.
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【題目】已知A(﹣2,a),B(1,b)是一次函數(shù)y=﹣2x+3的圖象上的兩個(gè)點(diǎn),則a與b的大小關(guān)系是( )
A. a>bB. a<bC. a=bD. 不能確定
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-3,0)、B(0,4),對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到△1、△2、△3、△4…,則△2016的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( )
A. 8065 B. 8064 C. 8063 D. 8062
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【題目】以下四種沿AB折疊的方法中,不一定能判定紙帶兩條邊線a,b互相平行的是( )
A.如圖1,展開后測(cè)得∠1=∠2
B.如圖2,展開后測(cè)得∠1=∠2且∠3=∠4
C.如圖3,測(cè)得∠1=∠2
D.如圖4,展開后再沿CD折疊,兩條折痕的交點(diǎn)為O,測(cè)得OA=OB,OC=OD
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【題目】按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為: -2,4,-8,16,-32 按照此規(guī)律排列下去,
這列數(shù)中第7個(gè)數(shù)是________。
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【題目】如圖1,⊙O的半徑為r(r>0),若點(diǎn)P′在射線OP上,滿足OP′OP=r2,則稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”.
如圖2,⊙O的半徑為4,點(diǎn)B在⊙O上,∠BOA=60°,OA=8,若點(diǎn)A′,B′分別是點(diǎn)A,B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn),求A′B′的長.
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【題目】如圖,拋物線y=-x2-2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).
(1)求A、B、C的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)H是第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),且△HAB的面積是6,求點(diǎn)H的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)M作x軸的垂線,與直線AC交于點(diǎn)E,與拋物線交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N.若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊,當(dāng)矩形PQMN的周長最大時(shí),求△AEM的面積.
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