Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＋BC，E是CD的中點(diǎn)．求證：

(1)AE⊥BE；

(2)AE、BE分別平分∠BAD、∠ABC．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：延長(zhǎng)AE與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F(如圖(甲))，則 　　∵AD∥BC， 　　∴∠4＝∠F． 　　又∵∠5＝∠6，DE＝CE， 　　∴△ADE≌△FCE． 　　∴AD＝CF，AE＝EF． 　　又∵AB＝AD＋BC＝CF＋BC＝BF， 　　∴△ABF是等腰三角形． 　　∴BE⊥AE，BE平分∠ABC． 　　同理，延長(zhǎng)BE交AD的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)P，亦可證明AE⊥BE，AE平分∠BAD． 　　點(diǎn)悟：由于E是腰CD的中點(diǎn)，可考慮使用梯形的中位線的有關(guān)定理解決． 　　證法2：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連結(jié)EM(如圖(乙)所示)，則 　　∵E、M分別是DC、AB的中點(diǎn)， 　　∴EM是梯形ABCD的中位線． 　　故EM∥AD∥BC，EM＝(AD＋BC)． 　　∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． 　　又∵AB＝AD＋BC， 　　∴EM＝AB＝AM＝BM． 　　∴∠2＝∠5，∠3＝∠6， 　　∴∠1＝∠5，∠4＝∠6， 　　∠2＋∠3＝(∠2＋∠3＋∠5＋∠6)＝×＝ 　　即AE⊥BE，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC．

提示：

點(diǎn)悟：利用點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，AD∥BC可構(gòu)造全等三角形，利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)進(jìn)行求解． 　　點(diǎn)撥：梯形的輔助線的做法非常多，也非常靈活，在做題過程中要注意多角度思考，拓寬思路，發(fā)散思維．