Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A、B為反比例函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)與B點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為1，將的圖象繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．

（1）求旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式；

（2）求、點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）連結(jié)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線(xiàn)段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線(xiàn)段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，試探究：是否存在使為等腰直角三角形的值，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）如圖所示，∵點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，

∴⊥軸于，，

．…………………………1分

∴．

∴，

由題意可知 ， ．

∴．

過(guò)點(diǎn)作軸于，軸于，

在中， ,   ．

由矩形得．

∵點(diǎn)在第四象限∴．……………………………2分

   （2）設(shè)經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為.

        依題意得 ………………………3分

        解得 ∴此拋物線(xiàn)的解析式為．………………………4分

（3）∵，

∴點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．

∴直線(xiàn)為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，交于，

由題意可知 ，，

∴，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，．

∴．

①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，四邊形為等腰梯形.

∵∥∥，與不平行，∴四邊形為梯形.

要使梯形為等腰梯形，只需滿(mǎn)足.

∵,∴點(diǎn)在上.

由、求得直線(xiàn)的解析式為.

又∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴.

解得（與點(diǎn)重合，舍）.∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為.

由、求得直線(xiàn)的解析式為.

∵點(diǎn)在上，∴ ．∴．………6分

②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，四邊形為平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為. ……………………8分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，為等腰梯形；當(dāng)時(shí)，為平行四邊形．