【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,E是AB邊上一點,D是AC邊上一點,且點D不與A、C重合,ED⊥AC.
(1)當sinB=時,
①求證:BE=2CD.
②當△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(45°<∠CAD<90°).BE=2CD是否成立?若成立,請給出證明;若不成立.請說明理由.
(2)當sinB=時,將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到∠DEB=90°,若AC=10,AD=2,求線段CD的長.
【答案】(1)①證明見解析;②BE=2CD成立.理由見解析;(2)2或4.
【解析】
(1)①作EH⊥BC于點H,由sinB=可得∠B=30°,∠A=60°,根據(jù)ED⊥AC可證明四邊形CDEH是矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得EH=CD,根據(jù)正弦的定義即可得BE=2CD;
②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAC=∠EAD,利用角的和差關(guān)系可得∠CAD=∠BAE,根據(jù)=可證明△ACD∽△ABE,及相似三角形的性質(zhì)可得,進而可得BE=2CD;
(2)由sinB=可得∠ABC=∠BAC=∠DAE=45°,根據(jù)ED⊥AC可得AD=DE,AC=BC,如圖,分兩種情況討論,通過證明△ACD∽△ABE,求出CD的長即可.
(1)①作EH⊥BC于點H,
∵Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,
∴∠B=30°,
∴∠A=60°,
∵ED⊥AC
∴∠ADE=∠C=90°,
∴四邊形CDEH是矩形,即EH=CD.
∴在Rt△BEH中,∠B=30°
∴BE=2EH
∴BE=2CD.
②BE=2CD成立.
理由:∵△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置,
∴∠BAC=∠EAD=60°,
∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD,即∠CAD=∠BAE,
∵AC:AB=1:2,AD:AE=1:2,
∴,
∴△ACD∽△ABE,
∴,
又∵Rt△ABC中,=2,
∴=2,即BE=2CD.
(2)∵sinB=,
∴∠ABC=∠BAC=∠DAE=45°,
∵ED⊥AC,
∴∠AED=∠BAC=45°,
∴AD=DE,AC=BC,
將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn),∠DEB=90°,分兩種情況:
①如圖所示,過A作AF⊥BE于F,則∠F=90°,
當∠DEB=90°時,∠ADE=∠DEF=90°,
又∵AD=DE,
∴四邊形ADEF是正方形,
∴AD=AF=EF=2,
∵AC=10=BC,
∴AB=10,
∴Rt△ABF中,BF==6,
∴BE=BF﹣EF=4,
又∵△ABC和△ADE都是直角三角形,
且∠BAC=∠EAD=45°,
∴∠CAD=∠BAE,
∵AC:AB=1:,AD:AE=1:,
∴,
∴△ACD∽△ABE,
∴=,即=,
∴CD=2;
②如圖所示,過A作AF⊥BE于F,則∠AFE=∠AFB=90°,
當∠DEB=90°,∠DEB=∠ADE=90°,
又∵AD=ED,
∴四邊形ADEF是正方形,
∴AD=EF=AF=2,
又∵AC=10=BC,
∴AB=10,
∴Rt△ABF中,BF==6,
∴BE=BF+EF=8,
又∵△ACD∽△ABE,
∴=,即=,
∴CD=4,
綜上所述,線段CD的長為2或4.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點為C(2,﹣1),與x軸交于A,B兩點,OA=3;
(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖1,一次函數(shù)y=﹣x+3圖象交x軸于點A,交y軸于點D,連結(jié)AC、BD,在x軸上有一點Q,使△AQC 與△ABD相似,求出點Q坐標;
(3)如圖2,在直線y=kx -1(k>0)上是否存在唯一一點P,使得∠APB=90°?若存在,請直接寫出此時k的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新冠疫情爆發(fā)后,各地啟動了抗擊新冠肺炎的一級應(yīng)急響應(yīng)機制,某社區(qū)20位90后積極參與社區(qū)志愿者工作,充分展示了新時代青年的責任擔當,這20位志愿者的年齡統(tǒng)計如表,則他們年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( 。
A.25歲,25歲B.25歲,26歲C.26歲,25歲D.26歲,26歲
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)準備隨機選出七、八、九三個年級各1名學(xué)生擔任學(xué)校國旗升旗手.現(xiàn)已知這三個年級每個年級分別選送一男、一女共6名學(xué)生作為備選人.
(1)請你利用樹狀圖或表格列出所有可能的選法;
(2)求選出“一男兩女”三名國旗升旗手的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于一個函數(shù),自變量x取a時,函數(shù)值y也等于a,我們稱a為這個函數(shù)的不動點.如果二次函數(shù)y=x2+2x+c有兩個相異的不動點x1、x2,且x1<1<x2,則c的取值范圍是( )
A. c<﹣3B. c<﹣2C. c<D. c<1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)對本校初2017屆500名學(xué)生中中考參加體育加試測試情況進行調(diào)查,根據(jù)男生1000米及女生800米測試成績整理,繪制成不完整的統(tǒng)計圖,(圖①,圖②),請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,回答下列問題:
(1)該校畢業(yè)生中男生有 人;扇形統(tǒng)計圖中a= ;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若500名學(xué)生中隨機抽取一名學(xué)生,這名學(xué)生該項成績在8分及8分以下的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】保護環(huán)境衛(wèi)生,垃圾分類開始實施.我市為了促進生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為“可回收物”、“有害垃圾”、“濕垃圾”、“干垃圾”四類,并且設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱.
(1)小亮將媽媽分類好的某類垃圾隨機投入到四種垃圾箱某類箱內(nèi),請寫出小亮投放正確的概率為 ;
(2)經(jīng)過媽媽的教育,小明已經(jīng)分清了“有害垃圾”,但仍然分不清“可回收物”、“濕垃圾”和“干垃圾”,這天小亮要將媽媽分類好的四類垃圾投入到四種垃圾箱內(nèi),請求出小明投放正確的概率;
(3)請你就小亮投放垃圾的事件提出兩條合理化建議.
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【題目】如圖,在⊙O中,直徑AB垂直弦CD于E,過點A作∠DAF=∠DAB,過點D作AF的垂線,垂足為F,交AB的延長線于點P,連接CO并延長交⊙O于點G,連接EG,已知DE=4,AE=8.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)求證:OC2=OEOP;
(3)求線段EG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,頂點為的拋物線與交軸分別于點,(點在點的左側(cè)),與交軸交于點.已知直線的解析式為.
(1)求拋物線的解析式:
(2)若以點為圓心的圓與相切,求的半徑;
(3)在軸上是否存在一點,使得以,,三點為頂點的三角形與相似?如果存在,請求出點的坐標;如果不存在,請說明理由.
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