【題目】如圖,拋物線yax2+bx+ca≠0)的頂點為C2,﹣1),與x軸交于AB兩點,OA=3

1)求此拋物線的解析式;

2)如圖1,一次函數(shù)y=﹣x+3圖象交x軸于點A,交y軸于點D,連結(jié)AC、BD,在x軸上有一點Q,使AQC ABD相似,求出點Q坐標;

3)如圖2,在直線ykx -1(k0)上是否存在唯一一點P,使得∠APB90°?若存在,請直接寫出此時k的值;若不存在,請說明理由.

【答案】1yx24x+3;(2Q點的坐標為(0,0)或(,0);(3)存在,k=1,k=,k=

【解析】

1)由頂點坐標為C2,﹣1)可得對稱軸為x=2,然后再根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性,確定A、B的坐標,然后使用待定系數(shù)法即可解答;

2)先通過等腰三角形和相似三角形的性質(zhì)得到CAQDAB45°,然后分兩種情況解答即可;

3)設(shè)P點坐標為(a,ka-1),以AB的中點O為圓心作⊙O,以AB為直徑畫圓恰好與直線ykx-1(k0)相切與P點,然后確定圓的半徑長度,然后運用兩點間距離公式列方程,最后根據(jù)條件即可確定k的取值.

解(1)∵函數(shù)圖像的頂點坐標為C2,﹣1

∴對稱軸為x=2

OA=3

B點的橫坐標為:2-(3-2)=1,A點的橫坐標為3

∴A(3,0),B(1,0)

解得

∴函數(shù)解析式為yx24x+3;

2)如圖:連接AC、QC、BD,

x=0,y=﹣0+3=3,即點D坐標為(0,3

OA=OD

∴∠DAB45°

要使AQC∽△ADB,則CAQDAB45°,

當(dāng)時,AQC∽△ADB,即,解得AQ3,此時Q0,0);

當(dāng)時,AQC∽△ABD,即,解得AQ,此時Q,0);

綜上所述,Q點的坐標為(0,0)或(,0);

3)連接設(shè)P點坐標為(aka-1),以AB的中點O為圓心作⊙O,以AB為直徑畫圓恰好與直線ykx-1(k0)相切與P點,即APBP

A(3,0),B(1,0)

∴AO=BO=AB=1

即:(k-1a2-2k+2a+1=0

在直線ykx-1(k0)上是否存在唯一一點P,使得APB90°

當(dāng)(k-1a2-2k+2a+1=0為關(guān)于a的一元一次方程時,則k-1=1,即k=1;

②①當(dāng)(k-1a2-2k+2a+1=0為關(guān)于a的一元二次方程時,則:

2k+22-4k-1=0解得:k=,k=;

綜上,存在滿足題意得k且取值為k=1,k=,k=

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(1)求證:AC平分∠DAE;

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(1)求參加這次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù).并補全條形統(tǒng)計圖(畫圖后請標注相應(yīng)的數(shù)據(jù));

(2)

(3)若某校共有1200名學(xué)生,試估計該校選擇圍棋課外興趣小組有多少人?

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1)求證:AEDC

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1)當(dāng)sinB=時,

①求證:BE2CD.

②當(dāng)ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(45°<∠CAD90°).BE2CD是否成立?若成立,請給出證明;若不成立.請說明理由.

2)當(dāng)sinB=時,將ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到∠DEB90°,若AC10AD2,求線段CD的長.

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