Question

【題目】如圖,AB=16,O為AB中點(diǎn),點(diǎn)C在線段OB上(不與點(diǎn)O,B重合),將OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 270°后得到扇形COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧CD于點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)P，Q在AB異側(cè)，連接OP.

（1）求證：AP=BQ；

（2）當(dāng)BQ= 時(shí),求的長(zhǎng)(結(jié)果保留 )；

（3）若△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部，求OC的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）4<OC<8.

【解析】

（1） 連接OQ，由切線性質(zhì)得∠APO=∠BQO=90°，由直角三角形判定HL得Rt△APO≌Rt△BQO，再由全等三角形性質(zhì)即可得證.

（2）由（1）中全等三角形性質(zhì)得∠AOP=∠BOQ，從而可得P、O、Q三點(diǎn)共線，在Rt△BOQ中，根據(jù)余弦定義可得cosB=， 由特殊角的三角函數(shù)值可得∠B=30°，∠BOQ=60° ，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得 OQ=4， 結(jié)合題意可得 ∠QOD度數(shù)，由弧長(zhǎng)公式即可求得答案.

（3）由直角三角形性質(zhì)可得△APO的外心是OA的中點(diǎn) ，結(jié)合題意可得OC取值范圍.

（1）證明：連接OQ.

∵AP、BQ是⊙O的切線，

∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，

∴∠APO=∠BQO=90，

在Rt△APO和Rt△BQO中，

，

∴Rt△APO≌Rt△BQO，

∴AP=BQ.

（2）∵Rt△APO≌Rt△BQO，

∴∠AOP=∠BOQ，

∴P、O、Q三點(diǎn)共線，

∵在Rt△BOQ中,cosB=，

∴∠B=30,∠BOQ= 60° ，

∴OQ=OB=4，

∵∠COD=90°，

∴∠QOD= 90°+ 60° = 150°，

∴優(yōu)弧QD的長(zhǎng)=，

（3）解：設(shè)點(diǎn)M為Rt△APO的外心，則M為OA的中點(diǎn)，
∵OA=8，
∴OM=4，
∴當(dāng)△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部時(shí)，OM＜OC，
∴OC的取值范圍為4＜OC＜8．