Question

已知點P（a，4）在拋物線y=

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4

x²+c和直線y=-2x上．
（1）求a，c的值；
（2）把此二次函數(shù)的圖象沿著y軸方向平移，經(jīng)過怎樣的平移才能使所得的圖象與直線y=-2x有且只有一個公共點？請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質,二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）首先將點P代入直線的解析式求得a的值，然后代入二次函數(shù)的解析式即可求得c值；
（2）設拋物線yy=

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x²+3向上平移k個單位長度后得y-k=y=

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x²+3則得方程-2x-k=y=

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4

x²+3，得到△=8²-4（4k+12）=16-16k，然后令16-16k=0，解得：k=1，從而確定平移的方向和單位．

解答：解：（1）∵點P（a，4）在直線y=-2x上，
∴4=-2a，
即：a=-2，
又∵點P（-2，4）在拋物線y=

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4

x²+c上，
∴4=

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4

×（-2）²+c，
即：c=3；

（2）把已知的二次函數(shù)的圖象沿著y軸方向向上平移1個單位長度，所得的圖象與直線y=-2x有且只有一個公共點．
理由：由（1）知，拋物線y=

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4

x²+3和直線y=-2x有兩個公共點，
因此設拋物線yy=

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4

x²+3向上平移k個單位長度后得y-k=y=

1

4

x²+3，
則得方程-2x-k=y=

1

4

x²+3，
即：x²+8x+4k+12=0，
△=8²-4（4k+12）=16-16k，
令16-16k=0，解得：k=1，
故把已知的二次函數(shù)的圖象沿著y軸方向向上平移1個單位長度，所得的圖象與直線y=-2x有且只有一個公共點．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質及二次函數(shù)的圖象與幾何變換的知識，解題的關鍵是確定二次函數(shù)的解析式，難度中等．