Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)按圖中“→”方向運(yùn)動(dòng)，每次運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位長度，得到點(diǎn)P₁、P₂、P₃、P₄、P₅、P₆、…，且△OP₁P₂、△P₂P₄P₆、△P₆P₉P₁₂…都是等邊三角形，則P₁的坐標(biāo)是________，P₄₂₀的坐標(biāo)是________．

Answer 1

（，）    （210，0）
分析：根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都是60°的性質(zhì)，利用三角函數(shù)即可求解點(diǎn)P₁的坐標(biāo)；
根據(jù)第1個(gè)三角形有2個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)三角形增加4個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)三角形增加6個(gè)點(diǎn)，…，依此規(guī)律，第n個(gè)三角形增加2n個(gè)點(diǎn)，然后利用求和公式計(jì)算出點(diǎn)P₄₂₀在第幾個(gè)三角形，再根據(jù)第n個(gè)三角形的邊長等于n，利用求和公式進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：∵△OP₁P₂是等邊三角形，
∴∠P₁OP₂=60°，
1×cos60°=1×=，
1×sin60°=1×=，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)是（，）；
∵第1個(gè)三角形有2個(gè)點(diǎn)，
第2個(gè)三角形增加4個(gè)點(diǎn)，
第3個(gè)三角形增加6個(gè)點(diǎn)，
…，
依此規(guī)律，第n個(gè)三角形增加2n個(gè)點(diǎn)，
∴2+4+6+…+2n=，
=420，
整理得，n²+n-420=0，
解得n=20，n=-21（舍去），
∴P₄₂₀是第20個(gè)三角形最后的一個(gè)點(diǎn)，在x軸上，
∵1+2+3+…+20==210，
∴P₄₂₀的坐標(biāo)是（210，0）．
故答案為：（，）；（210，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的三邊都相等，每一個(gè)內(nèi)角都是60°的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)第n個(gè)等邊三角形增加2n個(gè)點(diǎn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，本題規(guī)律性較強(qiáng)，靈活性較大，有助于同學(xué)們學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)．