【答案】
分析:(1)可先求出A、B、E關(guān)于原點(diǎn)對稱的對稱點(diǎn)的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)不難得出OA=OD,OM=ON,因此四邊形AMDN是平行四邊形,那么其面積就是三角形ADN面積的2倍,可據(jù)此來求S,t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)根據(jù)(2)得出的函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍即可得出S的最大值及對應(yīng)的t的值.
(4)根據(jù)矩形的性質(zhì)可知:當(dāng)AD=MN時,平行四邊形AMDN是矩形,那么OD=ON,據(jù)此可求出t的值.
解答:解:(1)點(diǎn)A(-4,0),點(diǎn)B(-2,0),點(diǎn)E(0,8)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為D(4,0),C(2,0),F(xiàn)(0,-8).
設(shè)拋物線C
2的解析式是y=ax
2+bx+c(a≠0),
則
,
解得
,
所以所求拋物線的解析式是y=-x
2+6x-8.
(2)由(1)可計算得點(diǎn)M(-3,-1),N(3,1).
過點(diǎn)N作NH⊥AD,垂足為H.
當(dāng)運(yùn)動到時刻t時,AD=2OD=8-2t,NH=1+2t.
根據(jù)中心對稱的性質(zhì)OA=OD,OM=ON,
所以四邊形MDNA是平行四邊形.
所以S=2S
△ADN.
所以,四邊形MDNA的面積S=(8-2t)(1+2t)=-4t
2+14t+8.
因?yàn)檫\(yùn)動至點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止,據(jù)題意可知0≤t<4.
所以所求關(guān)系式是S=-4t
2+14t+8,t的取值范圍是0≤t<4.
(3)S=-4(t-
)
2+
,(0≤t<4).
所以
時,S有最大值
.
提示:也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來求.
(4)在運(yùn)動過程中四邊形MDNA能形成矩形.
由(2)知四邊形MDNA是平行四邊形,對角線是AD,MN,
所以當(dāng)AD=MN時四邊形MDNA是矩形,
所以O(shè)D=ON.所以O(shè)D
2=ON
2=OH
2+NH
2,
所以t
2+4t-2=0.
解之得t
1=
-2,t
2=-
-2(舍).
所以在運(yùn)動過程中四邊形MDNA可以形成矩形,此時t=
-2.
點(diǎn)評:本題以二次函數(shù)為背景,結(jié)合動態(tài)問題、存在性問題、最值問題,是一道較傳統(tǒng)的壓軸題,能力要求較高.