Question

閱讀與理解
在平面直角坐標系xOy中，點P（x，y）經(jīng)過τ變換得到點P′（x′，y′），該變換記為τ（x，y）=（x′，y′），其中

x′=ax+by y′=ax-by

（a，b為常數(shù)）．
例如，當a=1，且b=1時，τ（-2，3）=（1×（-2）+1×3，1×（-2）-1×3）=（1，-5）．
（1）當a=1，且b=-2時，τ（0，1）=

 

；
（2）若τ（1，2）=（0，-2），則a=

 

，b=

 

；
（3）設(shè)點P（x，y）是直線y=2x上的任意一點，點P經(jīng)過變換τ得到點P′（x′，y′）．若點P與點P′關(guān)于原點對稱，求a和b的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)該變換記為τ（x，y）=（x′，y′），其中

x′=ax+by y′=ax-by

，代入a，b的值，可得答案；
（2）根據(jù)該變換記為τ（x，y）=（x′，y′），其中

x′=ax+by y′=ax-by

，可得關(guān)于a、b的二元一次方程組，根據(jù)解方程組，可得答案；
（3）根據(jù)點P與點P′關(guān)于原點對稱，可得τ（x，y）=（-x，-y），根據(jù)點P的位置，可得P′點的坐標，根據(jù)τ（x，y）=（x′，y′），可得方程組，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答：解：（1）當a=1，且b=-2時，τ（0，1）=（1×0+（-2）×1，1×0-（-2）×1）=（-2，2），
故答案為：（-2，2）；
（2）τ（1，2）=（a×1+2b，a×1-2b）=（0，-2），

a+2b=0 a-2b=-2

，解得

a=-1 b= 1 2

．
故答案為：a=-1，b=

1

2

；
（3）∵點P（x，y）經(jīng)過變換τ得到的對應點P′（x′，y′）與點P關(guān)于原點對稱，
∴τ（x，y）=（-x，-y）．
∵點P（x，y）在直線y=2x上，
∴τ（x，2x）=（-x，-2x），

-x=ax+2bx -2x=ax-2bx

即 

(-1-a-2b)x=0 (-2-a+2b)x=0

．
∵x為任意的實數(shù)，
∴

-1-a-2b=0 -2-a+2b=0

，解得

a=- 3 2 b= 1 4

∴a=-

3

2

，b=

1

4

．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了點P（x，y）經(jīng)過τ變換得到點P′（x′，y′），該變換記為τ（x，y）=（x′，y′），其中

x′=ax+by y′=ax-by

（a，b為常數(shù)）．